《2025年初中必刷题七年级数学上册北师大版》

问题解决策略:归纳

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答案 D31
新考向 探究性试题 [2024 山西阳泉期末,中]综合与实践
【问题提出】用$n$根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
【问题探究】不妨假设能搭成$m$种不同的等腰三角形,为探究$m与n$之间的关系,我们可以先从特殊入手,通过试验、观察、类比,最后归纳、猜测得出结论.
探究一:(1)用 3 根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
此时,显然能搭成一种等腰三角形,所以,当$n = 3$时,$m = 1$.
(2)用 4 根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
只可分成 1 根木棒、1 根木棒和 2 根木棒这一种情况,但不能搭成三角形,所以,当$n = 4$时,$m = 0$.
(3)用 5 根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
若分成 1 根木棒、1 根木棒和 3 根木棒,则不能搭成三角形;若分成 2 根木棒、2 根木棒和 1 根木棒,则能搭成一种等腰三角形,所以,当$n = 5$时,$m = 1$.
(4)用 6 根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
若分成 1 根木棒、1 根木棒和 4 根木棒,则不能搭成三角形;若分成 2 根木棒、2 根木棒和 2 根木棒,则能搭成一种等腰三角形,所以,当$n = 6$时,$m = 1$.
综上所述,可得表 1.
表 1
| $n$ | 3 | 4 | 5 | 6 |
| $m$ | 1 | 0 | 1 | 1 |
探究二:(1)用 7 根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
(仿照上述探究方法,写出解答过程,并将结果填在表 2 中)
(2)分别用 8 根、9 根、10 根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形? (只需把结果填在表 2 中)
表 2
| $n$ | 7 | 8 | 9 | 10 |
| $m$ | ______ | ______ | ______ | ______ |
表 3
| $n$ | $4k - 1$ | $4k$ | $4k + 1$ | $4k + 2$ |
| $m$ | ______ | ______ | ______ | ______ |
你不妨分别用 11 根、12 根、13 根、14 根、…相同的木棒(木棒无剩余)继续进行探究.
【问题解决】用$n$根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形? (设$n分别等于4k - 1$,$4k$,$4k + 1$,$4k + 2$,其中$k$是正整数,把结果填在表 3 中)
【问题应用】用 2 023 根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
写出解答过程.

答案： 【解】探究二:
(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,
若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒,则不能搭成三角形;若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒,则能搭成一种等腰三角形;若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
此时,能搭成2种等腰三角形,
所以,当n=7时,m=2.
(2)如表1所示.
表1
n 7 8 9 10
m 2 1 2 2
【问题解决】如表2所示.
表2
n 4k-1 | 4k | 4k+1 | 4k+2
m k | k-1 | k | k
【问题应用】因为2023=4×506−1,
所以由表2的规律可知,用2023根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成506种不同的等腰三角形.