《2025年初中必刷题七年级数学上册北师大版》

1 [2024 福建龙岩调研，中]有四个互不相等的整数 a，b，c，d，且 $ abcd = 9 $，那么 $ a + b + c + d $等于 ( )

A.0
B.8
C.4
D.不能确定

答案： A 【解析】由题意得，这四个整数小于或等于 9，且互不相等，再由乘积为 9 可得，这四个整数中必有 3 和-3，则这两个整数的乘积为-9，所以剩下的两个整数的乘积必定为-1，所以四个整数为 1，-1，3，-3，则 a+b+c+d=1+(-1)+3+(-3)=0，故选 A.

2 [2024 河北邯郸期中，中]若 $ (-2023)×100 $的值记为 p，则 $ (-2023)×99 $的值可表示为 ( )

A.$ p + 1 $
B.$ p - 1 $
C.$ p + 2023 $
D.$ p - 2023 $

答案： C 【解析】因为(-2023)×100 的值记为 p，所以(-2023)×99=(-2023)×(100-1)=(-2023)×100+(-2023)×(-1)=(-2023)×100+2023=p+2023. 故选 C.

3 [2025 安徽阜阳期末，较难]用 $ f(n) $表示组成 n 的所有数字的乘积，例如：$ f(29) = 2×9 = 18 $，$ f(207) = 2×0×7 = 0 $. 则 $ f(1) + f(2) + \cdots + f(100) = $______.

答案： 2070 【解析】由题意得f
(1)+f
(2)+…+f
(9)+f
(10)=1+2+3+…+9+0，f
(11)+f
(12)+…+f
(19)+f
(20)=1×1+1×2×1×3+…+1×9+2×0=1+2+3+…+9，$f(21)+f(22)+…+f(29)+f(30)=2×1+2×2+2×3+…+2×9+3×0=2(1+2+3+\dots +9) ,f(31)+f(32)+\dots +f(39)+f(40)=3×1+3×2+3×3+…+3×9+4×0=3(1+2+3+\dots +9),f(41)+f(42)+\dots +f(49)+f(50)=4×1+4×2+4×3+…+4×9+5×0=4(1+2+3+\dots +9),f(51)+f(52)+\dots +f(59)+f(60)=5×1+5×2+5×3+…+5×9+6×0=5(1+2+3+\dots +9),f(61)+f(62)+\dots +f(69)+f(70)=6×1+6×2+6×3+…+6×9+7×0=6(1+2+3+\dots +9),f(71)+f(72)+\dots +f(79)+f(80)=7×1+7×2+7×3+…+7×9+8×0=7(1+2+3+\dots +9),f(81)+f(82)+\dots +f(89)+f(90)=8×1+8×2+8×3+…+8×9+9×0=8(1+2+3+\dots +9),f(91)+f(92)+\dots +f(99)+f(100)=9×1+9×2+9×3+…+9×9+1×0×0=9(1+2+3+\dots +9),$所以$f(1)+f(2)+\dots +f(100)=(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=46×45=2070，$故答案为2070.

4 [中]学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算 $ 39\frac{24}{25}×(-5) $，看谁算得又快又对.
小瑞很快给出了他的解法：原式 $ = -\frac{999}{25}×5 = -\frac{999}{5} = -199\frac{4}{5} $.
小晨经过思考后也给出了他的解法：
原式 $ = (39 + \frac{24}{25})×(-5) $
$ = 39×(-5) + $______( )
$ = -195 + $______
$ = $______.
(1) 请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理.
(2) 你还有不同于小瑞、小晨的解法吗？
(3) 用你认为最合适的方法计算：$ 29\frac{15}{16}×(-8) $.

答案： 【解】
(1)原式$=(39+\frac {24}{25})×(-5)=39×(-5)+\frac {24}{25}×(-5)=-195+(-\frac {24}{5})=-199\frac {4}{5}$，运算原理是乘法对加法的分配律.
(2)有，可以这样计算：原式$=(40-\frac {1}{25})×(-5)=40×(-5)-\frac {1}{25}×(-5)=-200+\frac {1}{5}=-199\frac {4}{5}.$
(3)$29\frac {15}{16}×(-8)=(30-\frac {1}{16})×(-8)=30×(-8)-\frac {1}{16}×(-8)=-240+\frac {1}{2}=-239\frac {1}{2}.$

5 核心素养运算能力 [2024 安徽淮北期末，较难]阅读理解：计算 $ (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) $时，若把 $ (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) $与 $ (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) $分别看作一个整体，再利用乘法对加法的分配律进行运算，可以简化运算步骤. 过程如下：
解：设 $ (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) $为 A，$ (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) $为 B，
则原式 $ = (1 + A)B - (1 + B)A = B + AB - A - AB = B - A = \frac{1}{5} $. 请用上述方法计算：
(1) $ (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7})×(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) $；
(2) $ (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n})(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n + 1}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n + 1})(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}) $.

答案： 【解】
(1)设$\left(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6}\right)$为 A，$\left(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6}+\frac {1}{7}\right)$为 B，则原式=(1+A)B-(1+B)A=B+AB-A-AB=B-A=$\frac {1}{7}.$
(2)设$\left(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\dots +\frac {1}{n}\right)$为 A，$\left(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\dots +\frac {1}{n+1}\right)$为 B，则原式=(1+A)B-(1+B)A=B+AB-A-AB=B-A=$\frac {1}{n+1}.$