《2025年初中必刷题七年级数学上册北师大版》

1[2025山西临汾质检,中]如果一个多项式的各项的次数都相同,那么这个多项式叫作齐次多项式.如：$x^{3}+3xy^{2}+4xyz+2y^{3}$是3次齐次多项式,若$a^{x+3}b^{2}-6ab^{3}c^{2}$是齐次多项式,则x的值为( )

A.-1
B.0
C.1
D.2

答案： C 【解析】由题意,得$x + 3 + 2=6$,解得$x = 1$.
关键点拨：根据多项式中不含 xy 项,得出关于 k 的方程是解题关键.
易错警示：整式相关求参问题中,以指数为条件求字母的值时,容易忽略系数不为 0 而出错.
故选 C.

2[中]已知$(n-3)x^{|n+2|}-(m-2)x^{3}+6x^{2}-(n+1)x+\frac {1}{2}$是关于x的五次多项式,且三次项的系数为3,则$m-n$的值为( )

A.2或12
B.-4或6
C.6
D.2

答案： C 【解析】因为多项式$(n - 3)x^{|n + 2|}-(m - 2)x^{3}+6x^{2}-(n + 1)x+\frac{1}{2}$是关于 x 的五次多项式,所以$|n + 2|=5$,$n - 3\neq0$,所以$n=-7$.因为三次项的系数为 3,所以$-(m - 2)=3$,所以$m=-1$,所以$m - n=-1-(-7)=6$.

3[2025江苏宿迁期中,较难]已知整式$M:a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$,其中$a_{5}$是正整数,$a_{4},a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}$是自然数,若$a_{5}+a_{0}= p,a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}= q$.下列说法：①若$p= 1,q= 0$,则满足条件的整式M有且仅有1个；②若$p= q= 2$,则满足条件的五次四项式M有6个；③若$p= 3,q= 1$,则满足条件的整式M共有12个.其中正确的个数是( )

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： D 【解析】因为$a_{5}$是正整数,$a_{4},a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}$是自然数,$p = 1$,所以$a_{5}+a_{0}=p = 1$,所以$a_{5}=1$,$a_{0}=0$.因为$a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}=q = 0$,所以$a_{4}=a_{3}=a_{2}=a_{1}=0$,所以 M 只有 1 个,为$x^{5}$,故①正确.若$p = q = 2$,则$a_{5}+a_{0}=p = 2$,$a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}=2$.因为要满足五次四项式,所以$a_{5}=a_{0}=1$,$a_{4},a_{3},a_{2},a_{1}$中有两个为 1,两个为$0$,所以$M=x^{5}+x^{4}+x^{2}+1$或$M=x^{5}+x^{4}+x^{3}+1$或$M=x^{5}+x^{4}+x + 1$或$M=x^{5}+x^{3}+x^{2}+1$或$M=x^{5}+x^{2}+x + 1$或$M=x^{5}+x^{3}+x + 1$,共 6 个,故②正确.因为$a_{5}+a_{0}=p = 3$,$a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}=q = 1$,所以当$a_{5}=3$,$a_{0}=0$,$a_{4},a_{3},a_{2},a_{1}$中有一个为 1,其余为 0 时,满足条件的整式 M 有 4 个;当$a_{5}=2$,$a_{0}=1$,$a_{4},a_{3},a_{2},a_{1}$中有一个为 1,其余为 0 时,满足条件的整式 M 有 4 个;当$a_{5}=1$,$a_{0}=2$,$a_{4},a_{3},a_{2},a_{1}$中有一个为 1,其余为 0 时,满足条件的整式 M 共有 12 个,故③正确.综上可知,正确的个数是 3,故选 D.

4[中]多项式$\frac {1}{2}x^{|n-1|}+(n-4)x+2$是关于x的三次三项式,且关于x,y的单项式$3x^{m}y$与其次数相同,则$n^{m}= $____.

答案： 4 思路分析：根据多项式的定义求代数式的值
$m + 1=3$ 求得 m 得出结果
三次三项式 $|n - 1|=3$ 求得 n
$n - 4\neq0$
【解析】因为$\frac{1}{2}x^{|n - 1|}+(n - 4)x + 2$是关于 x 的三次三项式,所以$|n - 1|=3$,且$n - 4\neq0$,所以$n=-2$.又因为关于 x,y 的单项式$3x^{m}y$与该多项式次数相同,所以$m + 1=3$,所以$m = 2$,所以$n^{m}=(-2)^{2}=4$.

5[2025广东韶关质检,中]观察下列关于x的单项式：$xy^{2},-3x^{2}y^{3},5x^{3}y^{4},-7x^{4}y^{5},...$.
(1)直接写出第5个单项式：____.
(2)第20个单项式的系数和次数分别是多少？
(3)系数的绝对值为2025的单项式的次数是多少？

答案：
(1)第 5 个单项式为$9x^{5}y^{6}$.故答案为$9x^{5}y^{6}$.
(2)由$xy^{2}$,$-3x^{2}y^{3}$,$5x^{3}y^{4}$,$-7x^{4}y^{5}$可知第 n 个单项式为$(-1)^{n + 1}(2n - 1)x^{n}y^{n + 1}$,所以第 20 个单项式为$-39x^{20}y^{21}$,所以第 20 个单项式的系数是-39,次数是 41.
(3)因为系数的绝对值为 2025,所以$2n - 1=2025$,所以$n = 1013$,所以系数的绝对值为 2025 的单项式的次数为$1013 + 1013 + 1=2027$.

6[2025陕西延安期中,中]如图是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位：m),请回答下列问题：
(1)用式子表示这所住宅的建筑面积.
(2)(1)中的式子是多项式吗？如果是,它是几次几项式？它的二次项系数、一次项分别是什么？

答案：
(1)这所住宅的建筑面积为$x^{2}+2x + 4×3 + 3×2=(x^{2}+2x + 18)m^{2}$.
(2)是多项式.它是二次三项式,它的二次项系数是 1,一次项是$2x$.

7核心素养运算能力[难]定义：$f(a,b)$是关于a,b的多项式,如果$f(a,b)= f(b,a)$,那么$f(a,b)$叫作“对称多项式”.例如,如果$f(a,b)= a^{2}+a+b+b^{2}$,则$f(b,a)= b^{2}+b+a+a^{2}$,显然$f(a,b)= f(b,a)$,所以$f(a,b)= a^{2}+a+b+b^{2}$是“对称多项式”.
(1)试说明$f(a,b)= a^{2}-2ab+b^{2}$是“对称多项式”.
(2)请写一个“对称多项式”：$f(a,b)= $____(不多于四项).
(3)如果$f_{1}(a,b)和f_{2}(a,b)$均为“对称多项式”,那么$f_{1}(a,b)+f_{2}(a,b)$一定是“对称多项式”吗？如果一定,请说明理由；如果不一定,请举例说明.

答案：
(1)因为$f(a,b)=a^{2}-2ab + b^{2}$,所以$f(b,a)=b^{2}-2ab + a^{2}$,所以$f(a,b)=f(b,a)$,所以$f(a,b)=a^{2}-2ab + b^{2}$是"对称多项式".
(2)当$f(a,b)=a + b$时,$f(b,a)=b + a=f(a,b)$,所以$f(a,b)=a + b$是"对称多项式".故答案为$a + b$(答案不唯一).
(3)不一定.举例:$f_{1}(a,b)=a + b$,$f_{2}(a,b)=-a - b$都是"对称多项式",而$f_{1}(a,b)+f_{2}(a,b)=0$,是单项式,不是多项式.