《2025年初中必刷题七年级数学上册北师大版》

1[2025山西太原期中,中]如图,正方形网格中每个小正方形的边长都为1,则$∠\alpha 与∠\beta $的大小关系为( )

A.$∠\alpha ＜∠\beta $
B.$∠\alpha =∠\beta $
C.$∠\alpha ＞∠\beta $
D.无法估测

答案： 1. A 【解析】将∠α平移,使∠α与∠β两个角的顶点重合,∠α下面的一条边与∠β下面的一条边重合,可得∠α上面的一条边在∠β的内部,所以∠α＜∠β.故选 A.

2[2024广东深圳福田区期末,中]如图,已知$∠AOB= 90^{\circ }$,$OC是∠AOB$内任意一条射线,$OB$,$OD分别平分∠COD$,$∠BOE$。下列结论：①$∠COD= ∠BOE$；②$∠COE= 3∠BOD$；③$∠BOE= ∠AOC$；④$∠AOC+∠BOD= 90^{\circ }$,其中正确的有( )

A.①②④
B.①③④
C.①②③
D.②③④

答案： 2. A 【解析】因为 OB,OD 分别平分∠COD,∠BOE,所以∠COB=∠BOD=∠DOE,所以∠COB+∠BOD=∠BOD+∠DOE,即∠COD=∠BOE,因此①正确;∠COE=∠COB+∠BOD+∠DOE=3∠BOD,因此②正确;因为∠AOB=90°,所以∠AOC+∠BOC=90°=∠AOC+∠BOD,因此④正确;通过已知条件无法推出∠AOC=∠BOE,因此③不正确.故选 A.

3[较难]定义：从$∠AOB$的顶点出发,在角的内部引一条射线$OC$,把$∠AOB分成1:2$的两部分,射线$OC叫作∠AOB$的三等分线。若在$∠MON$中,射线$OP是∠MON$的三等分线,射线$OQ是∠MOP$的三等分线,设$∠MOQ= x$,则$∠MON的度数用含x$的代数式表示为( )

A.$\frac {9}{4}x或3x或\frac {9}{2}x$
B.$\frac {9}{4}x或3x或9x$
C.$\frac {9}{4}x或\frac {9}{2}x或9x$
D.$3x或\frac {9}{2}x或9x$

答案：
3. C 【解析】①如图
(1),当∠MOP=2∠NOP,∠QOP=2∠MOQ 时,因为∠MOQ=x,所以∠QOP=2x,∠NOP=$\frac{1}{2}$∠MOP=$\frac{1}{2}$×(x+2x)=$\frac{3}{2}$x,所以∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+$\frac{3}{2}$x=$\frac{9}{2}$x;

②如图
(2),当∠MOP=2∠NOP,∠MOQ=2∠QOP 时,因为∠MOQ=x,所以∠QOP=$\frac{1}{2}$x,∠NOP=$\frac{1}{2}$∠MOP=$\frac{1}{2}$×(x+$\frac{1}{2}$x)=$\frac{3}{4}$x,所以∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$x=$\frac{9}{4}$x;

③如图
(3),当∠NOP=2∠MOP,∠MOQ=2∠QOP 时,因为∠MOQ=x,所以∠QOP=$\frac{1}{2}$x,∠NOP=2∠MOP=2×(x+$\frac{1}{2}$x)=3x,所以∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+$\frac{1}{2}$x+3x=$\frac{9}{2}$x;

④如图
(4),当∠NOP=2∠MOP,∠QOP=2∠MOQ 时,因为∠MOQ=x,所以∠QOP=2x,∠NOP=2∠MOP=2×(x+2x)=6x,所以∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+6x=9x.

综上,∠MON=$\frac{9}{4}$x 或$\frac{9}{2}$x 或 9x,故选 C.

4[较难]已知$∠AOB= 60^{\circ }$,$OC为从O$点引出的任意一条射线,若$OM平分∠AOC$,$ON平分∠BOC$,则$∠MON$的度数是____。

答案：
4. 30°或 150° 【解析】因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠CON=∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOC.如图
(1),∠MON=∠MOC - ∠CON=$\frac{1}{2}$(∠AOC - ∠BOC)=$\frac{1}{2}$×60°=30°;如图
(2),∠MON=∠MOC+∠CON=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$(360° - ∠AOB)=$\frac{1}{2}$×300°=150°;如图
(3),∠MON=∠MOC+∠CON=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$×60°=30°.综上所述,∠MON 的度数为 30°或 150°.

5[2024辽宁阜新海州区校级期中,中]如图,点$A是∠OBC的边BO$上一点,以$A$为顶点,射线$AO$为一边,在$∠OBC外用尺规作∠OAD$,使其等于$∠ABC$(不写作法,保留作图痕迹)。

答案：
5.【解】如图,∠OAD 即为所求.

6核心素养推理能力[2025湖南长沙期末,较难]如图,$OM是∠AOC$的平分线,$ON是∠BOC$的平分线。
(1)如图(1),当$∠AOB$是直角,$∠BOC= 60^{\circ }$时,$∠MON$的度数是多少？
(2)如图(2),当$∠AOB= \alpha $,$∠BOC= 60^{\circ }$时,猜想$∠MON与\alpha $的数量关系,并说明理由。
(3)如图(3),当$∠AOB= \alpha $,$∠BOC= \beta $时,$∠MON与\alpha $,$\beta $有数量关系吗？如果有,请写出结论并说明理由。

答案： 6.【解】
(1)因为∠AOB=90°,∠BOC=60°,所以∠AOC=90°+60°=150°.因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=75°,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°,所以∠MON=∠MOC - ∠NOC=45°.
(2)∠MON=$\frac{1}{2}$α.理由:因为∠AOB=α,∠BOC=60°,所以∠AOC=α+60°.因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$α+30°,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°,所以∠MON=∠MOC - ∠NOC=($\frac{1}{2}$α+30°)-30°=$\frac{1}{2}$α.
(3)∠MON=$\frac{1}{2}$α,与β的大小无关.理由:因为∠AOB=α,∠BOC=β,所以∠AOC=α+β.因为 OM 是∠AOC 的平分线,ON 是∠BOC 的平分线,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(α+β),∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β,所以∠MON=∠MOC - ∠NOC=$\frac{1}{2}$(α+β)-$\frac{1}{2}$β=$\frac{1}{2}$α,所以∠MON=$\frac{1}{2}$α,与β的大小无关.