《2025年初中必刷题七年级数学上册北师大版》

1 [2024 江苏盐城期中，中]若关于$x$的方程$\frac {1}{2}mx - \frac {5}{3} = \frac {1}{2}(x - \frac {4}{3})$有负整数解，则整数$m$的值为（ ）

A.$2$或$3$
B.$-1$或$2$
C.$0$或$-1$
D.$-1$或$0$或$2$或$3$

答案： C [解析]$\frac{1}{2}mx - \frac{5}{3}=\frac{1}{2}(x - \frac{4}{3})$，去括号，得$\frac{1}{2}mx - \frac{5}{3}=\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}$，去分母，得$3mx - 10=3x - 4$，移项、合并同类项，得$3(m - 1)x=6$。因为方程有负整数解，且$m$为整数，所以$x=\frac{2}{m - 1}$，所以$m - 1=-1$或$-2$。当$m - 1=-1$时，$m = 0$；当$m - 1=-2$时，$m=-1$，故整数$m$的值为 0 或-1。故选 C。

2 [2025 广东深圳期中，中]按如图所示的程序进行计算，若输入$x$的值是$3$，则输出$y$的值为$1$。若输出$y$的值为$3$，则输入$x$的值是（ ）


A.$7$
B.$-\frac {1}{3}$
C.$7$或$-\frac {1}{3}$
D.$-7$或$\frac {1}{3}$

答案： A [解析]因为输入$x$的值是 3，输出$y$的值为 1，所以$\frac{3 - b}{2}=1$，解得$b = 1$，所以当$x\geq-1$时，$y=\frac{x - 1}{2}$；当$x＜-1$时，$y=-3x + 2$。当$\frac{x - 1}{2}=3$时，解得$x = 7\geq-1$，符合题意；当$-3x + 2=3$时，解得$x=-\frac{1}{3}＞-1$，不符合题意。故选 A。

3 [2024 浙江宁波鄞州区调研，较难]方程$\frac {x}{3} + \frac {x}{15} + \frac {x}{35} + \cdots + \frac {x}{2005 × 2007} = 1$的解是$x =$（ ）

A.$\frac {2006}{2007}$
B.$\frac {2007}{2006}$
C.$\frac {2007}{1003}$
D.$\frac {1003}{2007}$

答案： C [解析]$\frac{x}{3}+\frac{x}{15}+\frac{x}{35}+\cdots+\frac{x}{2005×2007}=1$，合并同类项，得$(\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\cdots+\frac{1}{2005×2007})x=1$，将方程变形，得$[\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\cdots+\frac{1}{2}(\frac{1}{2005}-\frac{1}{2007})]x=1$，方程两边都乘 2，得$(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2007})x=2$，化简，得$(1-\frac{1}{2007})x=2$，解得$x=\frac{2007}{1003}$。故选 C。

4 [2024 湖北恩施州质检，中]解方程$|\frac {1 - x}{2}| = 3$，且$x ＜ 0$，则$x =$____。

答案： -5 [解析]因为$x＜0$，所以$1 - x＞0$，所以$\frac{1 - x}{2}＞0$，所以$\frac{1 - x}{2}=3$，解得$x=-5$。故答案为-5。

5 [2024 江西赣州调研，中]小明在对方程$\frac {x + 3}{3} - \frac {mx - 1}{6} = \frac {5 - x}{2}$去分母时，错误地得到了方程$2(x + 3) - mx - 1 = 3(5 - x)$，因而求得的解是$x = \frac {5}{2}$，则$m$的值为____，原方程的正确解为____。

答案： 1；$x = 2$ [解析]把$x=\frac{5}{2}$代入方程$2(x + 3)-mx - 1=3(5 - x)$，得$2×(\frac{5}{2}+3)-\frac{5}{2}m - 1=3×(5-\frac{5}{2})$，解得$m = 1$，将$m = 1$代入$\frac{x + 3}{3}-\frac{mx - 1}{6}=\frac{5 - x}{2}$，得$\frac{x + 3}{3}-\frac{x - 1}{6}=\frac{5 - x}{2}$，去分母，得$2(x + 3)-(x - 1)=3(5 - x)$，去括号，得$2x + 6 - x + 1=15 - 3x$，移项、合并同类项，得$4x = 8$，解得$x = 2$，则方程的正确解为$x = 2$。故答案为 1，$x = 2$。

6 [2024 新疆乌鲁木齐期末，较难]若关于$x$的方程$\frac {2kx + m}{3} = 2 + \frac {x - nk}{6}$，无论$k$取何值，它的解总是$x = 1$，那么$m + n =$____。

答案： $\frac{5}{2}$ [解析]将$x = 1$代入$\frac{2kx + m}{3}=2+\frac{x - nk}{6}$，得$\frac{2k + m}{3}=2+\frac{1 - nk}{6}$，整理得$(4 + n)k=13 - 2m$。由题意可知，无论$k$取何值，$(4 + n)k=13 - 2m$恒成立，所以$n + 4 = 0$，$13 - 2m=0$，所以$n=-4$，$m=\frac{13}{2}$，所以$m + n=\frac{5}{2}$，故答案为$\frac{5}{2}$。

7 [2025 江西宜春校级期中，中]（1）小玉在解方程$\frac {2x - 1}{3} = \frac {x + a}{2} - 1$去分母时，方程右边的“$-1$”没有乘$6$，求得的解是$x = 10$，试求$a$的值。
（2）当$m$为何值时，关于$x$的方程$5m + 3x = 1 + x$的解比关于$x$的方程$2x + m = 5m$的解大$2$？

答案： （1）由题意得$2(2x - 1)=3(x + a)-1$，去括号，得$4x - 2=3x + 3a - 1$，把$x = 10$代入，得$a = 3$。（2）方程$5m + 3x=1 + x$，解得$x=\frac{1 - 5m}{2}$，方程$2x + m=5m$，解得$x = 2m$。根据题意，得$\frac{1 - 5m}{2}-2m=2$，去分母，得$1 - 5m - 4m=4$，解得$m=-\frac{1}{3}$。

8 [2024 上海黄浦区期中，中]已知$(a + 2b)y^2 - y^{\frac {1}{3}a - \frac {1}{3}} = 3$是关于$y$的一元一次方程。
（1）求$a$，$b$的值；
（2）若$x = a$是关于$x$的方程$\frac {x + 2}{6} - \frac {x - 1}{2} + 3 = x - \frac {x - m}{3}$的解，求$|a - b - 2| - |b - m|$的值。

答案： （1）因为$(a + 2b)y^{2}-y^{\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}}=3$是关于$y$的一元一次方程，所以$\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}=1$，$a + 2b=0$，解得$a = 4$，$b=-2$。（2）因为$a = 4$，$x = a$是关于$x$的方程$\frac{x + 2}{6}-\frac{x - 1}{2}+3=x-\frac{x - m}{3}$的解，所以$1-\frac{3}{2}+3=4-\frac{4 - m}{3}$，解得$m=-\frac{1}{2}$，所以$|a - b - 2|-|b - m|=|4 + 2 - 2|-|-2+\frac{1}{2}|=\frac{5}{2}$。

9 核心素养运算能力 [2024 广东深圳福田区期末，较难]定义：如果两个一元一次方程的解之和为$1$，我们就称这两个方程为“美好方程”。例如：方程$4x = 8$和$x + 1 = 0$为“美好方程”。
（1）若关于$x$的方程$3x + m = 0$与方程$4x - 2 = x + 10$是“美好方程”，求$m$的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为$8$，其中一个方程的解为$n$，求$n$的值；
（3）若关于$x$的一元一次方程$\frac {1}{2024}x + 3 = 2x + k$和$\frac {1}{2024}x + 1 = 0$是“美好方程”，求关于$y$的一元一次方程$\frac {1}{2024}(y + 1) = 2y + k - 1$的解。

答案： （1）因为$3x + m=0$，所以$x=-\frac{m}{3}$。因为$4x - 2=x + 10$，所以$x = 4$。因为关于$x$的方程$3x + m=0$与方程$4x - 2=x + 10$是“美好方程”，所以$4-\frac{m}{3}=1$，解得$m = 9$。（2）因为“美好方程”的两个解之和为 1，其中一个方程的解为$n$，所以另一个方程的解为$1 - n$。因为两个解的差为 8，所以$n-(1 - n)=8$或$1 - n - n=8$，所以$n=\frac{9}{2}$或$n=-\frac{7}{2}$。（3）因为$\frac{1}{2024}x + 1=0$，所以$x=-2024$。因为关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2024}x + 3=2x + k$和$\frac{1}{2024}x + 1=0$是“美好方程”，所以方程$\frac{1}{2024}x + 3=2x + k$的解为$x=1-(-2024)=2025$。因为关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2024}(y + 1)=2y + k - 1$可化为$\frac{1}{2024}(y + 1)+3=2(y + 1)+k$，所以$y + 1=2025$，所以$y=2024$。