《2025年初中必刷题七年级数学上册北师大版》

1[2024江苏无锡调研,中]如图所示的一个长方形,它被分割成6个正方形A,B,C,D,E,F,其中A,B两个正方形面积相同,如果中间最小的正方形F边长为1,则这个长方形的面积是( )


A.123
B.142
C.143
D.144

答案： C 【解析】设正方形A的边长为x，则正方形C的边长为x + 1，正方形E的边长为2x - 1，正方形D的边长为x + 2。依题意得x + (2x - 1) = (x + 1) + (x + 2)，解得x = 4，所以长方形的面积为[x + x + (x + 1)]·[(x + 1) + (x + 2)] = 13×11 = 143。故选C。

2[中]有一个不完整圆柱体玻璃密封容器如图(1),测得其底面直径a为20cm,高为30cm,其内装液体若干,若如图(2)放置时,测得液面高度为15cm；如图(3)放置时,测得液面高度为20cm,则该玻璃密封容器的总容积是______.(结果保留π)

答案： $2500π\ \text{cm}^3$ 【解析】设该玻璃密封容器的总容积为V cm³。根据题意得$π×(\frac{20}{2})^{2}×15=V-π×(\frac{20}{2})^{2}×(30 - 20)$，解得V = 2500π，即该玻璃密封容器的总容积为$2500π\ \text{cm}^3$。故答案为$2500π\ \text{cm}^3$。

3[中]如图(1),将边长为a+3的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后,剩余部分可剪拼成如图(2)所示的长方形(不重叠无缝隙),若拼成的长方形的宽为3,请解答下列问题：
(1)用含a的代数式表示剪拼后所得长方形的周长为______；用含a的代数式表示剪拼后所得长方形的面积为______.
(2)若剪拼后所得长方形的周长为20,则a的值是______.
(3)若将剪拼后的长方形的长减少2,宽增加1,所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积,则a的值是______.

答案：
(1)4a + 12 6a + 9
(2)2
(3)$\frac{5}{2}$【解析】
(1)根据题图可知，拼成的长方形的长为a + a + 3 = 2a + 3，宽为3，因此剪拼后所得长方形的周长为(2a + 3 + 3)×2 = 4a + 12，面积为(2a + 3)×3 = 6a + 9，故答案为4a + 12，6a + 9。
(2)由题意得4a + 12 = 20，解得a = 2。故答案为2。
(3)由题意得(2a + 3 - 2)×(3 + 1) = 6a + 9，解得$a=\frac{5}{2}$。故答案为$\frac{5}{2}$。

4[2025吉林长春质检,中]现计划围一个长方形的鸡场,其长边靠墙,墙长14m,其他三边用竹篱笆围成,若竹篱笆的长为35m,王强打算用它围成长方形鸡场的长比宽多5m；赵杰打算用它围成长方形鸡场的长比宽多2m,你认为谁的设计符合实际？按照符合实际的人的设计,这个长方形鸡场的面积是多少？

答案： 【解】根据王强的设计可以设这个长方形鸡场的宽为x m，则长为(x + 5)m。根据题意得2x + (x + 5) = 35，解得x = 10，则x + 5 = 10 + 5 = 15，而墙的长度只有14 m，故王强的设计不符合实际。根据赵杰的设计可以设这个长方形鸡场的宽为y m，则长为(y + 2)m。根据题意得2y + (y + 2) = 35，解得y = 11，则y + 2 = 11 + 2 = 13，而墙的长度为14 m，故赵杰的设计符合实际，此时这个长方形鸡场的面积为13×11 = 143(m²)。

5核心素养模型观念[2025浙江湖州期末,较难]如图(1)所示,爱心农场的一个长、宽、高分别为12分米、8分米、20分米的长方体鱼池内装有高度为9分米的水.某项目化学习小组需要将一长方体基座(足够高)放置在鱼池内.若基座竖直放置在鱼池底部,如图(2)所示,则池内水面上升3分米.

(1)求基座的底面积；
(2)在安装过程中,先将基座吊起,使得基座的底部与水面齐平,如图(3)所示,然后将基座以2分米/分的速度下降,设下降的时间为t分,求当t= 2时,水面上升的高度；
(3)在(2)的条件下,求下降过程中,基座的底面把池中水深分成1:2的两部分时t的值.

答案： 【解】
(1)设基座的底面积为a平方分米，则由题意得12×8×3 = (9 + 3)a，解得a = 24。
答：基座的底面积为24平方分米。
(2)设水面上升x分米。根据题意得，24(2×2 + x) = 12×8x，解得$x=\frac{4}{3}$。
答：水面上升的高度为$\frac{4}{3}$分米。
(3)水面上升高度为$\frac{24×2t}{96 - 24}=\frac{2}{3}t$(分米)，基座底面到池底的距离为(9 - 2t)分米，基座底面到水面的距离为$2t+\frac{2}{3}t=\frac{8}{3}t$(分米)，则$9 - 2t=2×\frac{8}{3}t$或$9 - 2t=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}t$，解得$t=\frac{27}{22}$或$\frac{27}{10}$。
答：基座的底面把池中水深分成1:2的两部分时t的值为$\frac{27}{22}$或$\frac{27}{10}$。