《2025年初中必刷题七年级数学上册北师大版》

12 [2025浙江金华期末]小明在数学探究活动中遇到这样一个问题:$A$,$B$分别表示两个多项式,且满足$A + B = 2x^{2} - 3x + 7$.
(1)若当$x = -2$时,$B$的值为12,求此时$A$的值;
(2)若$B = -x^{2} - 8x + 1$,当$x = \frac{1}{3}$时,求$A$的值.

答案： 【解】
(1)当x=-2时,A+B=2×(-2)²-3×(-2)+7=21.因为B的值为12,所以此时A的值为21-12=9.
(2)A=2x²-3x+7-(-x²-8x+1)=3x²+5x+6,所以当x=$\frac{1}{3}$时,A=3×$\left(\frac{1}{3}\right)$²+5×$\frac{1}{3}$+6=8.

13 如图,长为$y$,宽为$x$的大长方形被分割成7部分,除阴影图形A,B外,其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形C,其中小长方形C的宽为4.
(1)计算小长方形C的周长(用含$y$的代数式表示);
(2)小明发现阴影图形A与阴影图形B的周长之和与$y$值无关,请你通过计算对他的发现做出合理解释.

答案： 【解】
(1)因为小长方形C的宽为4,所以小长方形C的长为y-12,所以小长方形C的周长为2×(y-12+4)=2y-16.
(2)由题图可知,阴影图形A的较长边长为y-12,较短边长为x-8,阴影图形B的较长边长为12,较短边长为x-(y-12)=x-y+12,所以阴影图形A和阴影图形B的周长之和为2(y-12+x-8)+2(12+x-y+12)=2y-40+2x+48+2x-2y=4x+8,所以阴影图形A与阴影图形B的周长之和与y值无关.

14 [2025河南南阳期末]某中学准备在网上订购一批篮球和跳绳,调查后发现每个篮球的售价为120元,每根跳绳的售价为25元.现有甲、乙两家网店均提供包邮服务,并提出了各自的优惠方案.
甲网店:买一个篮球送一根跳绳;
乙网店:篮球和跳绳都按定价的90%付款.
已知要购买篮球40个,跳绳$x根(x ＞ 40)$.
(1)若在甲网店购买,则需付款______元.若在乙网店购买,则需付款______元.(用含$x$的代数式表示)
(2)当$x = 80$时,在哪家网店购买较为合算?
(3)当$x = 80$时,你认为还有更为省钱的购买方案吗?如果没有,请说明理由;如果有,请写出你的购买方案,并计算需要付款的金额.

答案： 【解】
(1)在甲网店购买需付款40×120+(x-40)×25=(3800+25x)元;在乙网店购买需付款(40×120+25x)×90%=(4320+22.5x)元.故答案为(3800+25x),(4320+22.5x).
(2)当x=80时,甲网店购买需付款3800+25×80=5800(元),乙网店购买需付款4320+22.5×80=6120(元).因为6120＞5800,所以在甲网店购买较为合算.
(3)当x=80时,还有更为省钱的购买方案,在甲网店购买40个篮球送40根跳绳,再在乙网店购买40根跳绳,共需付款40×120+(80-40)×25×90%=5700(元).