《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

15. 如图,在△ABC中,点D在BC上,AD= BD,E为AD的中点,过点A作AF//BC交BE的延长线于点F,连结CF.
(1)求证：AD= AF；
(2)当D为BC中点时,
①∠ACB= ______度时,四边形ADCF为正方形；
②连结DF,当∠ACB= ______度时,四边形ABDF为菱形.

答案： 【解析】：
(1) 因为$AF// BC$，所以$\angle AFE = \angle DBE$。
又因为$E$为$AD$中点，所以$AE = DE$。
在$\triangle AEF$和$\triangle DEB$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle AFE=\angle DBE\\\angle AEF=\angle DEB\\AE = DE\end{array}\right.$，根据$AAS$可得$\triangle AEF\cong\triangle DEB$，所以$AF = BD$。
因为$AD = BD$，所以$AD = AF$。
(2) ① 当$D$为$BC$中点时，$BD = CD$，又因为$AF = BD$，所以$AF = CD$，且$AF// CD$，所以四边形$ADCF$是平行四边形。
又因为$AD = AF$，所以四边形$ADCF$是菱形。
当$\angle ACB = 45^{\circ}$时，$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以菱形$ADCF$是正方形。
② 因为$AF = BD$，$AF// BD$，所以四边形$ABDF$是平行四边形。
当$\angle ACB = 30^{\circ}$时，$AD = BD = CD$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB=\frac{1}{2}BC = BD$，所以平行四边形$ABDF$是菱形。
【答案】：
①$45$
②$30$

16. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(6,0),B是y轴正半轴上的一动点.矩形ADEF的顶点D、E分别在直线y= 1/2x和直线AB上,顶点F在x轴上.
(1)若点B的坐标为(0,4).
①求直线AB的函数解析式；
②求矩形ADEF的边AD、DE的长.
(2)若矩形ADEF是正方形,求点B的坐标.

答案： （1）①设直线 $ AB $ 的函数解析式为：$ y = kx + b $，将 $ A(6, 0) $、$ B(0, 4) $ 代入，解得 $ \begin{cases} k = -\dfrac{2}{3}, \\ b = 4. \end{cases} $
$ \therefore $ 直线 $ AB $ 的函数解析式为 $ y = -\dfrac{2}{3}x + 4 $。
②把 $ x = 6 $ 代入 $ y = \dfrac{1}{2}x $，得 $ y = 3 $。
$ \therefore AD = 3 $。在 $ y = -\dfrac{2}{3}x + 4 $ 中，
令 $ y = 3 $，得 $ x = \dfrac{3}{2} $。
$ \therefore DE = 6 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2} $。
（2）在正方形 $ ADEF $ 中，$ \angle EAF = 45^{\circ} $。在 $ \text{Rt} \triangle OAB $ 中，$ \angle OBA = 90^{\circ} - \angle EAF = 45^{\circ} $，
$ \therefore \angle EAF = \angle OBA $。$ \therefore OB = OA = 6 $。
$ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 $ (0, 6) $。