《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

14. 如图,菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$,$CD = 10$,$OD = 6$,过点 $C$ 作 $CE// DB$,过点 $B$ 作 $BE// AC$,$CE$ 与 $BE$ 相交于点 $E$.
(1) 求 $OC$ 的长；
(2) 求四边形 $OBEC$ 的面积.

答案： $(1)$ 求$OC$的长
解：因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC\perp BD$（菱形的对角线互相垂直）。
在$Rt\triangle OCD$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），已知$CD = 10$，$OD = 6$，设$OC$为$x$，则有：
$OC=\sqrt{CD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
$(2)$ 求四边形$OBEC$的面积
解：因为$CE// DB$，$BE// AC$，所以四边形$OBEC$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又因为$AC\perp BD$，即$\angle BOC = 90^{\circ}$，所以平行四边形$OBEC$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
由$(1)$知$OC = 8$，因为四边形$ABCD$是菱形，所以$OB=OD = 6$（菱形的对角线互相平分）。
根据矩形面积公式$S = ab$（$a$、$b$为矩形的长和宽），可得四边形$OBEC$的面积为：
$S_{OBEC}=OB× OC=6×8 = 48$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{8}$；$(2)$$\boldsymbol{48}$。

15. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AC$ 边的垂直平分线分别交 $AB$、$AC$ 边于 $D$、$O$ 两点,作 $CE// AB$ 交 $DO$ 的延长线于点 $E$,连结 $AE$、$CD$.
(1) 求证：四边形 $ADCE$ 是菱形；
(2) 若 $\angle ACB = 90^{\circ}$,$\triangle BDC$ 的面积为 $18$,求四边形 $ADCE$ 的面积.

答案： 1. （1）证明：
因为$DE$是$AC$边的垂直平分线，所以$OA = OC$，$\angle AOD=\angle COE = 90^{\circ}$。
又因为$CE// AB$，所以$\angle DAO=\angle ECO$。
在$\triangle ADO$和$\triangle CEO$中：
$\begin{cases}\angle DAO=\angle ECO\\OA = OC\\\angle AOD=\angle COE\end{cases}$
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，$\triangle ADO\cong\triangle CEO$。
所以$AD = CE$。
又因为$CE// AB$，所以四边形$ADCE$是平行四边形。
又因为$DE\perp AC$，所以平行四边形$ADCE$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
2. （2）
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$DE$是$AC$的垂直平分线，所以$D$是$AB$的中点（直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，这里$DE$垂直平分$AC$，可推出$AD = CD$，再结合$CE// AB$，$AD = CE$，$DE\perp AC$，进一步可知$D$是$AB$中点）。
所以$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle BDC}$（等底等高的三角形面积相等，$D$为$AB$中点，$\triangle ADC$与$\triangle BDC$等底$AD = BD$，同高$h$（$C$到$AB$的距离），$S=\frac{1}{2}ah$）。
因为四边形$ADCE$是菱形，$S_{菱形ADCE}=2S_{\triangle ADC}$。
已知$S_{\triangle BDC}=18$，所以$S_{菱形ADCE}=2×18 = 36$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）四边形$ADCE$的面积为$36$。