《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

15. 如图,在平面直角坐标系中,双曲线 $y= \frac{k}{x}$ 与直线 $y = ax + b$ 的交点 $A$、$B$ 均在小正方形的顶点上,每个小正方形的边长均为 $1$.
(1) 求 $k$ 的值；
(2) 把直线 $AB$ 向右平移 $5$ 个单位长度,再向上平移 $5$ 个单位长度,画出每次平移后的直线；
(3) 若点 $C$ 在双曲线 $y= \frac{k}{x}$ 上,$\triangle ABC$ 是以 $AB$ 为底的等腰三角形,直接写出点 $C$ 的坐标.

答案： 1. （1）
由图可知点$A(-1,-4)$，因为点$A(-1,-4)$在双曲线$y = \frac{k}{x}$上，将$x=-1$，$y = - 4$代入$y=\frac{k}{x}$中，根据$y=\frac{k}{x}$可得$k=xy$。
所以$k=(-1)×(-4)=4$。
2. （2）
先求直线$AB$的解析式：
设直线$AB$的解析式为$y = ax + b$，已知$A(-1,-4)$，$B(-4,-1)$，将$A$、$B$两点坐标代入$y = ax + b$得$\begin{cases}-a + b=-4\\-4a + b=-1\end{cases}$。
用$-a + b=-4$减去$-4a + b=-1$：$(-a + b)-(-4a + b)=-4-(-1)$，即$-a + b + 4a - b=-4 + 1$，$3a=-3$，解得$a=-1$。
把$a=-1$代入$-a + b=-4$，得$1 + b=-4$，解得$b=-5$，所以直线$AB$的解析式为$y=-x - 5$。
根据平移规律“左加右减，上加下减”，直线$AB$向右平移$5$个单位长度后的解析式为$y=-(x - 5)-5=-x+5 - 5=-x$；再向上平移$5$个单位长度后的解析式为$y=-x + 5$。
然后根据两点法（如$y=-x$过$(0,0)$，$(1,-1)$；$y=-x + 5$过$(0,5)$，$(5,0)$）画出平移后的直线。
3. （3）
因为$\triangle ABC$是以$AB$为底的等腰三角形，所以点$C$在线段$AB$的垂直平分线上。
线段$AB$的中点坐标为$(\frac{-1-4}{2},\frac{-4-1}{2})=(-\frac{5}{2},-\frac{5}{2})$，$AB$所在直线的斜率$k_{AB}=-1$，则$AB$垂直平分线的斜率$k = 1$。
设$AB$垂直平分线的解析式为$y=x + m$，把$(-\frac{5}{2},-\frac{5}{2})$代入得$-\frac{5}{2}=-\frac{5}{2}+m$，$m = 0$，即$AB$垂直平分线的解析式为$y=x$。
又因为$y=\frac{4}{x}$，联立$\begin{cases}y=x\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$，则$x=\frac{4}{x}$，$x^{2}=4$，解得$x = 2$或$x=-2$。
当$x = 2$时，$y = 2$；当$x=-2$时，$y=-2$。
所以点$C$的坐标为$(2,2)$或$(-2,-2)$。
综上，（1）$k = 4$；（3）$(2,2)$或$(-2,-2)$。

16. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $y = -2x + 4$ 分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于点 $A$、$B$,将 $\triangle AOB$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 后得到 $\triangle A'OB'$.
(1) 求直线 $A'B'$ 所对应的函数解析式；
(2) 若直线 $A'B'$ 与直线 $AB$ 相交于点 $C$,求 $\triangle A'BC$ 的面积.

答案：
(1)$y = \frac{1}{2}x - 2$
(2)$\frac{36}{5}$