《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

16. 如图,在平行四边形ABCD中,$∠BAD$的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F.
(1)求证：$CD = BE$；
(2)若F为DC的中点,$DG\perp AE$于点G,且$DG = 3$,$AB = 10$,求AE的长.

答案： 证明：
∵ AE 为 $ \angle B A D $ 的平分线，
∴ $ \angle D A E = \angle B A E $.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ $ A D // B C $，$ C D = A B $.
∴ $ \angle D A E = \angle E $.
∴ $ \angle B A E = \angle E $.
∴ $ A B = B E $.
∴ $ C D = B E $.
(2) 提示：证明 $ \triangle A D F \cong \triangle E C F ( A A S ) $.
$ A E = 16 $.

17. 已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断：①$OA = OC$,②$AB = CD$,③$∠BAD = ∠DCB$,④$AD// BC$. 请从中选择两个论断作为条件,以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论,完成下列各题：
(1)构造一个真命题,画图并给出证明；
(2)构造一个假命题,举反例加以说明.

答案： 【解析】：
(1) 选择论断①$OA = OC$和④$AD// BC$来构造真命题。
证明：
因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle OAD=\angle OCB$。
在$\triangle OAD$和$\triangle OCB$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle OAD = \angle OCB\\OA=OC\\\angle AOD=\angle COB\end{array}\right.$（对顶角相等）。
根据“角边角”（ASA）判定定理，可得$\triangle OAD\cong\triangle OCB$。
由全等三角形的性质可知$AD = BC$。
又因为$AD// BC$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
画图：先画两条平行直线$AD$和$BC$，再作一条直线与$AD$、$BC$相交于$A$、$C$两点，取$AC$中点$O$，连接$BO$并延长交$AD$于$D$点，得到四边形$ABCD$。
(2) 选择论断②$AB = CD$和④$AD// BC$来构造假命题。
反例：等腰梯形$ABCD$，在等腰梯形中，$AD// BC$，$AB = CD$，但等腰梯形不是平行四边形。
【答案】：
(1) 真命题：若$OA = OC$，$AD// BC$，则四边形$ABCD$为平行四边形。证明过程如上述解析。
(2) 假命题：若$AB = CD$，$AD// BC$，则四边形$ABCD$为平行四边形。反例为等腰梯形。