《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

15. 如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是CD的中点,过点C作CF//AB交AE的延长线于点F,连结BF.
(1)求证：DB= CF；
(2)如果AC= BC,试判断四边形DBFC的形状,并证明你的结论.

答案： 1. （1）证明：
因为$CF// AB$，所以$\angle DAE=\angle CFE$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$E$是$CD$的中点，所以$DE = CE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle FCE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle DAE=\angle CFE\\\angle AED=\angle FEC\\DE = CE\end{array}\right.$（对顶角相等）。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADE\cong\triangle FCE$。
所以$AD = CF$（全等三角形的对应边相等）。
因为$D$是$AB$的中点，所以$AD = DB$。
从而$DB = CF$。
2. （2）解：
四边形$DBFC$是矩形。
证明：
因为$DB = CF$且$DB// CF$（由$CF// AB$可得），所以四边形$DBFC$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
因为$AC = BC$，$D$是$AB$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$CD\perp AB$，即$\angle CDB = 90^{\circ}$。
有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形$DBFC$是矩形。
综上，（1）得证$DB = CF$；（2）四边形$DBFC$是矩形。

16. 如图,在矩形ABCD中,AB= 16cm,AD= 6cm. 动点P、Q分别从A、C两点同时出发,点P以每秒3cm的速度向终点B运动,点Q以每秒2cm的速度向终点D运动. 设点Q的运动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示线段BP、CQ的长；
(2)是否存在某一时刻,使四边形PBCQ为正方形？若存在,求t的值,若不存在,说明理由.

答案： 1. （1）
已知点$P$的速度是每秒$3cm$，运动时间为$t$秒，$AB = 16cm$，根据$BP=AB - AP$，$AP = 3t$，所以$BP=(16 - 3t)cm$。
已知点$Q$的速度是每秒$2cm$，运动时间为$t$秒，根据$CQ = 2tcm$。
2. （2）
解：若四边形$PBCQ$为正方形，则$BP = BC = CQ$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$BC = AD = 6cm$。
令$BP=BC$，即$16−3t = 6$，
移项可得：$-3t=6 - 16$，
即$-3t=-10$，解得$t=\frac{10}{3}$。
令$CQ = BC$，即$2t = 6$，解得$t = 3$。
因为$\frac{10}{3}\neq3$，所以不存在某一时刻，使四边形$PBCQ$为正方形。
综上，（1）$BP=(16 - 3t)cm$，$CQ = 2tcm$；（2）不存在。