《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

11. 如图,$□ ABCD$的对角线AC、BD交于点O,点E、F在BD上,点G、H在AC上,$DF = BE$,$AH = CG$. 求证：$GF// EH$.

答案： 解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$OB = OD$。
又因为$AH = CG$，所以$OA - AH = OC - CG$，即$OH = OG$。
因为$DF = BE$，所以$OD - DF = OB - BE$，即$OF = OE$。
在$\triangle GOF$和$\triangle HOE$中，
$\begin{cases}OG = OH\\\angle GOF=\angle HOE\\OF = OE\end{cases}$
所以$\triangle GOF\cong\triangle HOE$（$SAS$）。
所以$\angle OGF=\angle OHE$。
所以$GF// EH$（内错角相等，两直线平行）。

12. 如图,在四边形ABCD中,$AB// CD$,对角线AC,BD相交于点O,$OB = OD$. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

答案： 解：
因为$AB// CD$，所以$\angle ABO=\angle CDO$。
在$\triangle ABO$和$\triangle CDO$中，
$\begin{cases}\angle ABO = \angle CDO\\OB = OD\\\angle AOB=\angle COD\end{cases}$
所以$\triangle ABO\cong\triangle CDO$（$ASA$）。
所以$OA = OC$。
又因为$OB = OD$，
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，
所以四边形$ABCD$是平行四边形。

13. 如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上两点,且$AF = CE$,求证：$DF// BE$.

答案： 【解析】：
本题可先证明$\triangle ADF\cong\triangle CBE$，再根据全等三角形的性质得到角相等，进而证明$DF// BE$。
### 步骤一：利用平行四边形的性质
因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，所以$AD = BC$，$AD// BC$。
由$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle DAF=\angle BCE$。
### 步骤二：证明$\triangle ADF\cong\triangle CBE$
已知$AF = CE$，结合步骤一中得到的$AD = BC$，$\angle DAF=\angle BCE$，根据三角形全等判定定理中的“边角边”（$SAS$），即两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可得$\triangle ADF\cong\triangle CBE(SAS)$。
### 步骤三：根据全等三角形的性质得到角相等
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，因为$\triangle ADF\cong\triangle CBE$，所以$\angle DFA=\angle BEC$。
### 步骤四：证明$DF// BE$
因为$\angle DFA+\angle DFC = 180^{\circ}$，$\angle BEC+\angle BEA = 180^{\circ}$，且$\angle DFA=\angle BEC$，所以$\angle DFC=\angle BEA$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$DF// BE$。
【答案】：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD = BC$，$AD// BC$，
$\therefore\angle DAF=\angle BCE$。
在$\triangle ADF$和$\triangle CBE$中，
$\begin{cases}AD = BC\\\angle DAF=\angle BCE\\AF = CE\end{cases}$
$\therefore\triangle ADF\cong\triangle CBE(SAS)$，
$\therefore\angle DFA=\angle BEC$，
$\because\angle DFA+\angle DFC = 180^{\circ}$，$\angle BEC+\angle BEA = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle DFC=\angle BEA$，
$\therefore DF// BE$。
综上，$\boldsymbol{DF// BE}$得证。