《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

17. 图①、图②均为$5× 6$的正方形网格,点$A$、$B$、$C$在格点上.
(1)在图①中确定格点$D$,并画出以$A$、$B$、$C$、$D$为顶点的四边形,使其为轴对称图形,但不是中心对称图形；(画一个即可)
(2)在图②中确定格点$E$,并画出以$A$、$B$、$C$、$E$为顶点的四边形,使其为中心对称图形. (画一个即可)

答案： 【解析】：
(1) 轴对称图形是沿一条直线对折后直线两旁的部分能够完全重合的图形，不是中心对称图形。根据网格特点，连接 $AB$，作 $AB$ 的垂直平分线，取格点 $D$（答案不唯一），使得四边形 $ABCD$ 满足条件。
(2) 中心对称图形是绕着某一点旋转 $180^{\circ}$ 后能与原图重合的图形。连接 $AC$，取 $AC$ 中点 $O$，过 $B$ 作 $BO$ 延长线，使 $OE = OB$，确定格点 $E$（答案不唯一），使得四边形 $ABCE$ 满足条件。
【答案】：
(1) 答案不唯一，示例：连接 $AB$，作 $AB$ 垂直平分线，取合适格点 $D$ 构成四边形 $ABCD$。
(2) 答案不唯一，示例：连接 $AC$，取中点 $O$，过 $B$ 作 $BO$ 延长线，使 $OE = OB$，确定格点 $E$ 构成四边形 $ABCE$。

18. 如图,在$□ ABCD$中,$O是对角线AC$的中点. 某数学兴趣小组要在$AC上找两个点E$、$F$,使四边形$BFDE$为平行四边形,现总结出甲、乙两种方案如下.
请回答下列问题：
(1)选择其中一种方案,并证明四边形$BFDE$为平行四边形；
(2)在(1)的基础上,若$EF = 3AE$,$S_{\triangle AED} = 5$,则$□ ABCD$的面积为______.

答案：
(1)甲方案证明如下：
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
$ \therefore AB // CD $，$ AB = CD $.
$ \therefore \angle BAE = \angle DCF $.
在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle CDF $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { A B = C D , } \\ { \angle B A E = \angle D C F , } \\ { A E = C F , } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle CDF ( \mathrm { S . A . S . } ) $.
$ \therefore BE = DF $，$ \angle AEB = \angle CFD $.
$ \because \angle BEF = 180 ^ { \circ } - \angle AEB $，$ \angle DFE = 180 ^ { \circ } - \angle CFD $，
$ \therefore \angle BEF = \angle DFE $，
$ \therefore BE // DF $.
$ \therefore $ 四边形 $ BFDE $ 是平行四边形.
乙方案证明如下：
$ \because BE \perp AC $ 于点 $ E $，$ DF \perp AC $ 于点 $ F $，
$ \therefore BE // DF $，$ \angle AEB = \angle CFD = 90 ^ { \circ } $.
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
$ \therefore AB // CD $，$ AB = CD $.
$ \therefore \angle BAE = \angle DCF $.
在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle CDF $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A E B = \angle C F D , } \\ { \angle B A E = \angle D C F , } \\ { A B = C D , } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle CDF ( \mathrm { A . A . S . } ) $.
$ \therefore BE = DF $.
余下证明同
(1).
(2)50