《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

19. 阅读材料,回答问题.
分式方程的增根
解分式方程时可能会产生增根,原因是什么呢？事实上,解分式方程时产生增根,主要是去分母这一步造成的. 根据等式的基本性质 2：等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为 0 的数,结果仍相等. 但是,当等式两边同时乘 0 时,就会出现$0 = 0$的特殊情况. 因此,解方程时,方程左右两边不能同时乘 0. 而去分母时会在方程左右两边同乘公分母,此时无法知道所乘的公分母的值是否为 0,于是,未知数的取值范围可能就扩大了. 如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母的值为 0,此根即为增根. 增根是整式方程的根,但不是原分式方程的根. 所以解分式方程必须验根.
(1)若解分式方程$\frac{1 - x}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$时产生了增根,则这个增根是____；
(2)小明认为解分式方程$\frac{2x}{x^2 + 1} - \frac{3}{2x^2 + 2} = 0$时,不会产生增根,请你直接写出原因；
(3)解分式方程$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{4}{x^2 - 1}$.

答案：
(1)$ x = 2 $
(2)$ \because $原分式方程的最简公分母为$ 2(x^{2} + 1) $，而$ 2(x^{2} + 1) ＞ 0 $，$ \therefore $解这个分式方程时不会产生增根。
(3)原分式方程无解。