《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

19. 如图,在$□ ABCD$中,已知$AD = 15\mathrm{cm}$,点$P在AD上以1\mathrm{cm/s}的速度从点A向点D$运动,点$Q在BC上以4\mathrm{cm/s}的速度从点C$出发往返运动,两点同时出发,当点$P到达点D$时停止运动(同时点$Q$也停止),设运动时间为$t(\mathrm{s})(t ＞ 0)$.
(1)当点$P运动t$秒时,线段$PD$的长度为______$\mathrm{cm}$；
当点$P运动2$秒时,线段$BQ$的长度为______$\mathrm{cm}$；
当点$P运动5$秒时,线段$BQ$的长度为______$\mathrm{cm}$；
(2)若经过$t$秒,以$P$、$D$、$Q$、$B$四点为顶点的四边形是平行四边形. 请求出所有符合条件的$t$的值.

答案：
(1)$ ( 15 - t ) $ 7 5
(2)$ \because $ 点 $ P $ 在 $ AD $ 上运动，
$ \therefore t \leq 15 ÷ 1 = 15 $，即 $ 0 ＜ t \leq 15 $.
$ \because $ 以点 $ P $、$ D $、$ Q $、$ B $ 为顶点的四边形是平行四边形，
已有 $ PD // BQ $，还需满足 $ DP = BQ $，
①当点 $ Q $ 的运动路线是 $ C \to B $ 时，$ BQ = 15 - 4 t $，由题意，得 $ 15 - t = 15 - 4 t $，$ t = 0 $ 不合题意；
②当点 $ Q $ 的运动路线是 $ C \to B \to C $ 时，$ BQ = 4 t - 15 $，由题意，得 $ 15 - t = 4 t - 15 $，解得 $ t = 6 $；
③当点 $ Q $ 的运动路线是 $ C \to B \to C \to B $ 时，$ BQ = 45 - 4 t $，由题意，得 $ 15 - t = 45 - 4 t $，解得 $ t = 10 $；
④当点 $ Q $ 的运动路线是 $ C \to B \to C \to B \to C $ 时，$ BQ = 4 t - 45 $，由题意，得 $ 15 - t = 4 t - 45 $，解得 $ t = 12 $；
综上所述，$ t $ 的值为 6 或 10 或 12.