《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

12. 如图,四边形ABCD是正方形,G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF//DE,交AG于点F.
求证：AF= BF+EF.

答案： 解：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle BAD = 90^{\circ}$。
因为$DE\perp AG$，所以$\angle AED = 90^{\circ}$，则$\angle BAF+\angle DAE = 90^{\circ}$，$\angle ADE+\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$\angle BAF=\angle ADE$。
又因为$BF// DE$，$DE\perp AG$，所以$\angle BFA = 90^{\circ}=\angle AED$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DAE$中：
$\begin{cases}\angle BFA=\angle AED\\\angle BAF=\angle ADE\\AB = DA\end{cases}$
所以$\triangle ABF\cong\triangle DAE(AAS)$。
所以$BF = AE$。
因为$AF=AE + EF$，所以$AF = BF+EF$。

13. 如图,在正方形ABCD中,CE⊥DF,CE= 10cm.
(1)求证：EC= FD；
(2)求DF的长.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$BC = CD$，$\angle B=\angle BCD = 90^{\circ}$。
因为$CE\perp DF$，所以$\angle DFC+\angle ECB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BCE$中，$\angle BEC+\angle ECB = 90^{\circ}$，所以$\angle BEC=\angle DFC$。
在$\triangle BCE$和$\triangle CDF$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle DCF\\\angle BEC=\angle DFC\\BC = CD\end{array}\right.$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BCE\cong\triangle CDF$。
所以$EC = FD$（全等三角形的对应边相等）。
2. （2）解：
由（1）已证$\triangle BCE\cong\triangle CDF$，已知$CE = 10cm$。
因为$EC = FD$（全等三角形的对应边相等），所以$DF=CE = 10cm$。
综上，（1）已证$EC = FD$；（2）$DF$的长为$10cm$。

14. 如图,若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,BE= 3,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF= AE,求BM的长.

答案： $ \dfrac{12}{5} $