《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

18. 如图,在平面直角坐标系中,$OA = OC = 6$,射线$AG// x$轴,点E从A点出发沿射线AG以每秒1个单位长度的速度运动,点F从O点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动,设运动时间为t(秒).
(1)请写出点E的坐标(用含t的代数式表示)；
(2)连结EF,当EF经过AC边中点D时,求t的值；
(3)求t为何值时,以A、C、F、E为顶点的四边形为平行四边形？

答案：
(1) $ E ( t , 6 ) $.
(2) 当 EF 经过 AC 边中点 D 时，
$ A E = F C $，$ t = 6 - 2 t $，
∴ $ t = 2 $.
(3) 当 $ 0 \leq t \leq 3 $ 时，$ A E = F C $，$ t = 6 - 2 t $，
∴ $ t = 2 $. 当 $ t ＞ 3 $ 时，$ A E = F C $，
$ t = 2 t - 6 $，
∴ $ t = 6 $.

19. 分别以$□ ABCD(∠CDA\neq 90^{\circ})$的三边AB、CD、DA为斜边作等腰直角三角形$\triangle ABE$、$\triangle CDG$、$\triangle ADF$.
(1)如图①,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的外部时,连结GF、EF. 请判断GF与EF的关系(只写结论,不需证明)；
(2)如图②,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的内部时,连结GF、EF,(1)中结论还成立吗？若成立,给出证明；若不成立,说明理由.

答案：
(1) $ G F \perp E F $，$ G F = E F $.
(2) $ G F \perp E F $，$ G F = E F $ 成立.
证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ $ A B = C D $，$ \angle D A B + \angle A D C = 180 ^ { \circ } $.
∵ $ \triangle A B E $、$ \triangle C D G $、$ \triangle A D F $ 都是等腰直角三角形，
∴ $ D G = C G = A E = B E $，$ D F = A F $，
$ \angle C D G = \angle A D F = \angle D A F = \angle B A E = 45 ^ { \circ } $.
∵ $ \angle B A E + \angle D A F + \angle E A F + \angle A D F + \angle F D C = 180 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle E A F + \angle F D C = 45 ^ { \circ } $.
∵ $ \angle F D C + \angle G D F = 45 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle F D G = \angle E A F $.
∴ $ \triangle G D F \cong \triangle E A F ( S A S ) $.
∴ $ G F = E F $，$ \angle G F D = \angle E F A $，即 $ \angle G F D + \angle G F A = \angle E F A + \angle G F A $.
∴ $ \angle G F E = 90 ^ { \circ } $.
∴ $ G F \perp E F $，$ G F = E F $.