《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

17. 图①、图②均是 $6 × 6$ 的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为 $1$,$\triangle ABC$ 的顶点 $A$、$B$、$C$ 均在格点上。仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图,只保留作图痕迹,不要求写出画法。
(1) 在图①中,找一个格点 $D$,使以点 $A$、$B$、$C$、$D$ 为顶点的四边形是平行四边形；
(2) 在图②中,画出线段 $EF$,使 $EF$ 垂直平分 $AB$,且点 $E$、$F$ 在格点上。

答案： 【解析】：
(1) 平行四边形的判定方法之一是两组对边分别平行。在网格中，通过平移线段$AB$或$BC$等方法来找格点$D$。因为$AB$横向占$2$格，纵向占$4$格，将$BC$平移，可找到格点$D$（方法不唯一）。
(2) 先利用勾股定理求出$AB$的长度$AB = \sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。$AB$的中点可以通过网格找到，过中点作$AB$的垂线。根据网格的特点，利用等腰直角三角形等知识来找垂直平分$AB$的线段$EF$。
【答案】：
(1) 如图①，格点$D$即为所求（答案不唯一）。
(2) 如图②，线段$EF$即为所求。
（由于无法直接绘制图形，你可以根据上述思路在网格中完成作图。对于
(1)，比如将$BC$向左平移$2$格，再向上平移$0$格得到$AD$，使$AD// BC$且$AD = BC$，找到$D$点；对于
(2)，先确定$AB$中点，再利用网格中直角三角形的性质作垂线得到$EF$）。

18. 在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,点 $D$ 在边 $BC$ 所在的直线上,过点 $D$ 作 $DF // AC$ 交直线 $AB$ 于点 $F$,$DE // AB$ 交直线 $AC$ 于点 $E$。
(1) 当点 $D$ 在边 $BC$ 上时,如图①,求证：$DE + DF = AC$；
(2) 当点 $D$ 在边 $BC$ 的延长线上时,如图②；当点 $D$ 在边 $BC$ 的反向延长线上时,如图③。请分别写出图②、图③中 $DE$,$DF$,$AC$ 之间的数量关系,不需要证明；
(3) 若 $AC = 6$,$DE = 4$,则 $DF = $ 。

答案：
(1) $ \because DF // AC $，$ DE // AB $，
$ \therefore $ 四边形 $ AFDE $ 是平行四边形。
$ \therefore AF = DE $。
$ \because DF // AC $，$ \therefore \angle FDB = \angle C $。
又 $ \because AB = AC $，$ \therefore \angle B = \angle C $，
$ \therefore \angle FDB = \angle B $。$ \therefore DF = BF $。
$ \therefore DE + DF = AF + BF = AB = AC $。
(2) 图②中：$ AC + DF = DE $；图③中：$ AC + DE = DF $。
(3) 2 或 10。