《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

17. 如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,E是AD边上的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,连结BF.
(1)求证：四边形AFBD是平行四边形；
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形？请说明理由.

答案： 1. （1）证明：
因为$AF// BC$，所以$\angle AFE = \angle DCE$。
又因为$E$是$AD$边上的中点，所以$AE = DE$。
在$\triangle AEF$和$\triangle DEC$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle AFE=\angle DCE\\\angle AEF = \angle DEC\\AE = DE\end{array}\right.$（$AAS$判定定理）。
所以$\triangle AEF\cong\triangle DEC$。
则$AF = DC$。
因为$D$是$BC$边上的中点，所以$BD = DC$。
所以$AF = BD$。
又因为$AF// BD$。
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$AFBD$是平行四边形。
2. （2）当$\triangle ABC$满足$AB = AC$时，四边形$AFBD$是矩形。
理由：
因为$AB = AC$，$D$是$BC$边上的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，所以$AD\perp BC$，即$\angle ADB = 90^{\circ}$。
又因为四边形$AFBD$是平行四边形（已证）。
根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形$AFBD$是矩形。
综上，（1）已证四边形$AFBD$是平行四边形；（2）当$\triangle ABC$满足$AB = AC$时，四边形$AFBD$是矩形。

18. 如图,在△ABC中,O是边AC上一个动点,过点O作直线MN//BC. 设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE= OF；
(2)若CE= 4,CF= 3,求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？请说明理由.

答案： 1. （1）证明：
因为$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACE=\angle BCE$。
又因为$MN// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle OEC = \angle BCE$。
所以$\angle ACE=\angle OEC$，根据等角对等边，可得$OE = OC$。
因为$CF$平分$\angle ACD$，所以$\angle ACF=\angle DCF$。
又因为$MN// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle OFC=\angle DCF$。
所以$\angle ACF=\angle OFC$，根据等角对等边，可得$OF = OC$。
所以$OE = OF$。
2. （2）解：
因为$CE$平分$\angle ACB$，$CF$平分$\angle ACD$，所以$\angle ECF=\angle ECO+\angle FCO=\frac{1}{2}(\angle ACB+\angle ACD)$。
因为$\angle ACB+\angle ACD = 180^{\circ}$，所以$\angle ECF = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ECF$中，根据勾股定理$EF=\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}$，已知$CE = 4$，$CF = 3$，则$EF=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
由（1）知$OE = OF = OC$，所以$OC=\frac{1}{2}EF=\frac{5}{2}$。
3. （3）解：
当点$O$运动到$AC$的中点时，四边形$AECF$是矩形。
理由：
当$O$为$AC$中点时，$OA = OC$，又由（1）知$OE = OF$。
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形$AECF$是平行四边形。
又因为$\angle ECF = 90^{\circ}$（已证）。
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$AECF$是矩形。
综上，（1）得证$OE = OF$；（2）$OC=\frac{5}{2}$；（3）当点$O$运动到$AC$中点时，四边形$AECF$是矩形。