《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

6. 对角线长为2√{2}的正方形的周长为______,面积为______.

答案： 8 4

7. 如图,四边形ABCD是菱形,则只需补充条件：______(用字母表示)就可以判定四边形ABCD是正方形.

答案： $ AC = BD $（答案不唯一）

8. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的对称中心与原点O重合,顶点A的坐标为(-1,1),顶点B在第一象限. 若点B在直线y= kx+3上,则k的值为______.

答案： -2

9. 如图,直线l过正方形ABCD的顶点A,BE⊥l于点E,DF⊥l于点F. 若BE= 2,DF= 4,则EF的长为______.

答案： 6

10. 如图,在边长为4的正方形ABCD中,M为对角线BD上的一个动点,ME⊥BC于点E,MF⊥CD于点F,则EF的最小值为______.

答案： $ 2\sqrt{2} $

11. 如图,在四边形ABCD中,AB= BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N.
(1)求证：∠ADB= ∠CDB；
(2)当∠ADC为多少度时,四边形MPND是正方形？请说明理由.

答案： 1. （1）证明：
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle CBD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，$\begin{cases}AB = BC\\\angle ABD=\angle CBD\\BD = BD\end{cases}$（公共边）。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle CBD$。
由全等三角形的性质可知，$\angle ADB=\angle CDB$。
2. （2）解：
当$\angle ADC = 90^{\circ}$时，四边形$MPND$是正方形。
理由如下：
因为$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，即$\angle PMD=\angle PND=\angle ADC = 90^{\circ}$，所以四边形$MPND$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。
又因为$\angle ADB=\angle CDB$，$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PM = PN$。
一组邻边相等的矩形是正方形，所以四边形$MPND$是正方形。
综上，（1）得证；（2）当$\angle ADC = 90^{\circ}$时，四边形$MPND$是正方形。