《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

12. 如图,在 $□ ABCD$ 中,$CE$ 平分 $\angle BCD$ 交 $AD$ 边于点 $E$,$DE = 3$,求 $AB$ 的长。

答案： $ AB = 3 $

13. 如图,$AB$、$CD$ 相交于点 $O$,$AC // DB$,$AO = BO$,$E$、$F$ 分别是 $OC$、$OD$ 的中点。
(1) 求证：$\triangle AOC \cong \triangle BOD$；
(2) 求证：四边形 $AFBE$ 是平行四边形。

答案： 【解析】：
(1) 因为$AC// DB$，所以$\angle C = \angle D$。
在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle C=\angle D\\\angle AOC = \angle BOD\\AO = BO\end{array}\right.$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle AOC\cong\triangle BOD$。
(2) 由$\triangle AOC\cong\triangle BOD$，可得$OC = OD$。
因为$E$、$F$分别是$OC$、$OD$的中点，所以$OE=\frac{1}{2}OC$，$OF=\frac{1}{2}OD$，则$OE = OF$。
又因为$AO = BO$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，所以四边形$AFBE$是平行四边形。
【答案】：
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析。

14. 如图,在 $□ ABCD$ 中,点 $E$、$F$ 分别在边 $AD$、$BC$ 上,且 $DE = BF$。
求证：$AC$ 和 $EF$ 互相平分。

答案： 【解析】：
连接 $AF$、$CE$。
因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AD// BC$，$AD = BC$。
又因为 $DE = BF$，所以 $AD - DE = BC - BF$，即 $AE = CF$。
又 $AE// CF$，所以四边形 $AFCE$ 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
因为平行四边形的对角线互相平分，所以 $AC$ 和 $EF$ 互相平分。
【答案】：
连接 $AF$、$CE$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AD// BC$，$AD = BC$。
$\because DE = BF$，$\therefore AD - DE = BC - BF$，即 $AE = CF$。
又 $AE// CF$，$\therefore$ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
$\because$ 平行四边形的对角线互相平分，$\therefore AC$ 和 $EF$ 互相平分。