《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

19. 某苹果生产基地,用 $30$ 名工人进行采摘或加工苹果,每名工人只能做其中一项工作. 苹果的销售方式有两种：一种是直接出售,另一种是将采摘的苹果加工成罐头出售. 直接出售每吨获利 $4000$ 元,加工成罐头出售每吨获利 $10000$ 元. 采摘的工人每人可以采苹果 $0.4\mathrm{t}$,加工罐头的工人每人可加工苹果 $0.3\mathrm{t}$. 采摘的苹果一部分用于加工罐头,其余直接出售. 设有 $x$ 名工人进行苹果采摘,罐头和苹果全部售出后,总利润为 $y$ 元.
(1) 加工成罐头的苹果数量为____$\mathrm{t}$,直接出售的苹果数量为____$\mathrm{t}$；(用含 $x$ 的代数式表示)
(2) 求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；
(3) 求 $x$ 为何值时利润最大,并求出最大利润.

答案：
(1)$9 - 0.3x$ $0.7x - 9$
(2)$y = 4000 × (0.7x - 9) + 10000 × (9 - 0.3x) = -200x + 54000$。
(3)根据题意，得$0.4x \geq 9 - 0.3x$，解得$x \geq 12\frac{6}{7}$。
$\therefore x$的取值范围是$12\frac{6}{7} \leq x \leq 30$。
$\because k = -200 ＜ 0$，
$\therefore y$随$x$的增大而减小。
又$\because x$是整数，$\therefore$当$x = 13$时总利润最大，最大利润$y = -200 × 13 + 54000 = 51400$(元)。