《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

12. 如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于点E,CF⊥BD于点F. 求证：BE= CF.

答案： 解：
因为四边形$ABCD$是矩形，
所以$AC = BD$，则$BO=\frac{1}{2}BD$，$CO=\frac{1}{2}AC$，所以$BO = CO$。
又因为$BE\perp AC$，$CF\perp BD$，所以$\angle BEO=\angle CFO = 90^{\circ}$。
在$\triangle BOE$和$\triangle COF$中，
$\begin{cases}\angle BEO=\angle CFO\\\angle BOE=\angle COF\\BO = CO\end{cases}$
所以$\triangle BOE\cong\triangle COF(AAS)$。
根据全等三角形的对应边相等，可得$BE = CF$。

13. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD平分∠BAC交BC于点D,分别过点A、D作AE//BC、DE//AB,AE与DE相交于点E,连结CE.
(1)求证：AE= BD；
(2)求证：四边形ADCE是矩形.

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$AE = BD$
已知$AE// BC$，$DE// AB$，根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$ABDE$是平行四边形。
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，所以$AE = BD$。
### $(2)$ 证明四边形$ADCE$是矩形
因为$AB = AC$，$AD$平分$\angle BAC$，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合），可得$BD = CD$，$\angle ADC=90^{\circ}$。
又因为$AE = BD$（已证），所以$AE = CD$。
由于$AE// BC$，即$AE// CD$，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ADCE$是平行四边形。
又因为$\angle ADC = 90^{\circ}$，根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$ADCE$是矩形。
【答案】：
$(1)$ 证明见上述解析；$(2)$ 证明见上述解析。

14. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD⊥BC,垂足为D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是正方形？请给出证明.

答案： $(1)$ 证明四边形$ADCE$为矩形
解(证明)：
已知$AB = AC$，$AD\perp BC$，根据等腰三角形三线合一性质，可得$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。
因为$AN$是$\triangle ABC$外角$\angle CAM$的平分线，所以$\angle MAN=\angle CAN=\frac{1}{2}\angle CAM$。
又因为$\angle BAC+\angle CAM = 180^{\circ}$，则$\angle CAD+\angle CAN=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle CAM)=90^{\circ}$，即$\angle DAE = 90^{\circ}$。
由于$AD\perp BC$，$CE\perp AN$，所以$\angle ADC=\angle CEA = 90^{\circ}$。
在四边形$ADCE$中，$\angle DAE=\angle ADC=\angle CEA = 90^{\circ}$，根据矩形的判定定理（有三个角是直角的四边形是矩形），所以四边形$ADCE$为矩形。
$(2)$ 当$\triangle ABC$满足什么条件时，四边形$ADCE$是正方形
解(证明)：
当$\angle BAC = 90^{\circ}$时，四边形$ADCE$是正方形。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$AD\perp BC$，根据等腰直角三角形三线合一性质，$AD=\frac{1}{2}BC = CD$。
由$(1)$知四边形$ADCE$是矩形，又因为一组邻边相等（$AD = CD$）的矩形是正方形，所以当$\angle BAC = 90^{\circ}$时，四边形$ADCE$是正方形。
综上，答案依次为：$(1)$ 证明见上述过程；$(2)$ 当$\boldsymbol{\angle BAC = 90^{\circ}}$时，四边形$ADCE$是正方形，证明见上述过程。