《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

16. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$FE$ 垂直平分 $BC$ 交 $BC$ 于点 $D$,交 $AB$ 于点 $E$,连结 $CE$、$CF$,且 $CF = BE$.
(1) 求证：四边形 $BECF$ 是菱形；
(2) 若菱形 $BECF$ 是正方形,直接写出 $\angle A$ 的度数.

答案：
(1)$\because EF$垂直平分$BC$,
$\therefore BF=CF$,$BE=CE$.
$\because CF=BE$,$\therefore BE=CE=CF=BF$.
$\therefore$四边形$BECF$是菱形.
(2)$\angle A=45^{\circ}$.

17. 重合的平行四边形纸片 $ABCD$ 和 $AGFE$ 按如图①所示的方式摆放,其中 $AD = AG = 5$,$AB = 9$. 点 $D$,$G$ 分别在边 $AE$,$AB$ 上,$CD$ 与 $FG$ 相交于点 $H$.
【探究】求证：四边形 $AGHD$ 是菱形.
【操作】固定图①中的平行四边形纸片 $ABCD$,将平行四边形纸片 $AEFG$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转一定的角度,使点 $F$ 与点 $C$ 重合,如图②. 则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为____.

答案： 探究
解：
因为四边形$ABCD$和$AGFE$是平行四边形，
所以$AD// GF$，$AG// DC$，
所以四边形$AGHD$是平行四边形。
又因为$AD = AG = 5$，
根据菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形，
所以平行四边形$AGHD$是菱形。
操作
解：
由旋转可知$\triangle AGF\cong\triangle ADC$。
未重叠部分图形的周长和$=$平行四边形$ABCD$的周长$+$平行四边形$AGFE$的周长$- 2×$平行四边形$AGHD$的周长。
平行四边形周长公式为$C = 2×(a + b)$（$a$、$b$为邻边）。
平行四边形$ABCD$中$a = 9$，$b = 5$，其周长$C_{ABCD}=2×(9 + 5)=28$；
平行四边形$AGFE$中$a = 9$，$b = 5$，其周长$C_{AGFE}=2×(9 + 5)=28$；
平行四边形$AGHD$中$a = 5$，$b = 5$，其周长$C_{AGHD}=2×(5 + 5)=20$。
则未重叠部分图形的周长和$=28+28 - 2×20=36$。
故答案为$36$。