《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

15. 如图,在 $□ ABCD$ 中,延长 $AB$ 到点 $E$,使 $BE = AB$,连结 $DE$ 交 $BC$ 于点 $F$,求证：$BF = \frac{1}{2}AD$。

答案： 解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AB = CD$，$AB// CD$，$AD = BC$。
又因为$BE = AB$，
所以$BE = CD$。
因为$AB// CD$，
所以$\angle BEF=\angle CDF$，$\angle EBF=\angle DCF$。
在$\triangle BEF$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}\angle BEF=\angle CDF\\\angle EBF=\angle DCF\\BE = CD\end{cases}$
所以$\triangle BEF\cong\triangle CDF(AAS)$。
所以$BF = CF$。
因为$BC = AD$，$BC = BF + CF$，
所以$BC = 2BF$，
即$BF=\frac{1}{2}BC$。
又因为$AD = BC$，
所以$BF=\frac{1}{2}AD$。

16. 如图,在 $□ ABCD$ 中,延长 $DA$ 到点 $E$,延长 $BC$ 到点 $F$,使得 $AE = CF$,连结 $EF$,分别交 $AB$、$CD$ 于点 $M$、$N$,连结 $DM$、$BN$。
(1) 求证：$\triangle AEM \cong \triangle CFN$；
(2) 求证：四边形 $BNDM$ 是平行四边形。

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$∠DAB = ∠BCD$，$AD// BC$。
根据等角的补角相等，可得$∠EAM = ∠FCN$，$∠E = ∠F$。
在$\triangle AEM$和$\triangle CFN$中，$\begin{cases}∠E = ∠F \\ AE = CF \\ ∠EAM = ∠FCN\end{cases}$，根据$ASA$（角边角）定理，可证$\triangle AEM\cong\triangle CFN$。
(2) 由$\triangle AEM\cong\triangle CFN$可得$AM = CN$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB// CD$。
那么$AB - AM = CD - CN$，即$BM = DN$。
又因为$BM// DN$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$BNDM$是平行四边形。
【答案】：
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析。