《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

19. 如图①,将矩形ABCD沿DE折叠,使顶点A落在DC上的点A'处,然后将矩形展平,沿EF折叠,使顶点A落在折痕DE上的点G处. 再将矩形ABCD沿CE折叠,此时顶点B恰好落在DE上的点H处,如图②.
(1)求证：EG= CH；
(2)已知AF= $\sqrt{2}$,求AD和AB的长.

答案： $(1)$ 证明$EG = CH$
解（证明）：
由折叠的性质可知：
$AE = AD = EG$，$BC = CH$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD = BC$。
所以$EG = CH$。
$(2)$ 求$AD$和$AB$的长
解：
步骤一：求$\angle ADE$的度数
由折叠的性质可知$\angle ADE=\angle A'DE$，$\angle AED=\angle A'ED$。
因为$\angle A = \angle DA'E = 90^{\circ}$，$AD = A'D$，所以$\triangle ADE\cong\triangle A'DE$（$SAS$），则$\angle ADE=\angle A'ED = 45^{\circ}$。
步骤二：求$AD$的长
因为$\angle ADE = 45^{\circ}$，$\angle FGE=\angle A = 90^{\circ}$，$AF = FG=\sqrt{2}$。
在$Rt\triangle FGD$中，$\angle FDG = 45^{\circ}$，根据三角函数关系$\sin\angle FDG=\frac{FG}{DF}$，且$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$DF=\frac{FG}{\sin45^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2$。
又因为$AD = AF + DF$，所以$AD=\sqrt{2}+ 2$。
步骤三：求$AB$的长
由$(1)$知$AE = AD=\sqrt{2}+ 2$。
因为$\angle ADE=\angle A'ED = 45^{\circ}$，$\angle BEC=\angle HEC$，$\angle AED+\angle A'ED+\angle BEC+\angle HEC = 180^{\circ}$，所以$\angle AED+\angle BEC = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AED+\angle ADE = 90^{\circ}$，所以$\angle BEC=\angle ADE = 45^{\circ}$，则$\triangle BCE$是等腰直角三角形，$BE = BC = AD=\sqrt{2}+ 2$。
所以$AB=AE + BE=(\sqrt{2}+ 2)+(\sqrt{2}+ 2)=2\sqrt{2}+ 4$。
综上，$AD=\boldsymbol{\sqrt{2}+ 2}$，$AB=\boldsymbol{2\sqrt{2}+ 4}$。