《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

18. 图①、图②、图③均是 $5× 5$ 的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为 $1$,点 $A$、$B$ 均在格点上. 按下列要求画图,所画图形的顶点均在格点上且不全等,不要求写画法.
(1) 在图①中以线段 $AB$ 为边画一个平行四边形；
(2) 在图②中以线段 $AB$ 为边画一个正方形；
(3) 在图③中以线段 $AB$ 为边画一个菱形,你所画菱形的面积为____.

答案： 【解析】：
(1) 平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。根据此性质，在图①中，可找到与$AB$平行且相等的线段，从而画出平行四边形（画法不唯一）。
(2) 正方形的判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。先根据勾股定理求出$AB$的长度，再结合网格特点画出正方形（画法唯一）。
(3) 菱形的面积公式为$S = 底×高$。根据网格特点，确定底和高的值，进而求出面积（画法不唯一）。
【答案】：$6$（答案不唯一）

19. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AD// BC$,$E$ 是 $BC$ 的中点,$DF\perp BC$,垂足为 $F$,$AD = 5$,$BC = 12$,$DF = 4$,$\angle C = 45^{\circ}$,$P$ 是 $BC$ 边上的一个动点,设 $PB$ 的长为 $x$.
(1) 求当 $x$ 为何值时,以点 $P$、$A$、$D$、$E$ 为顶点的四边形是平行四边形；
(2) 点 $P$ 在 $BC$ 边上运动的过程中,以 $P$、$A$、$D$、$E$ 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.

答案： 1. （1）
解：
因为$AD// BC$，所以当$AP// DE$或$AE// DP$时，以点$P$、$A$、$D$、$E$为顶点的四边形是平行四边形。
已知$E$是$BC$的中点，$BC = 12$，则$BE=EC = 6$。
因为$AD// BC$，若$AD = PE$，则四边形$APED$是平行四边形。
当$P$在$E$的左侧时，$PE=AD$，$AD = 5$，$BE = 6$，$PB=BE - PE$，所以$x=6 - 5=1$。
当$P$在$E$的右侧时，$PE = AD$，$PB=BE + PE$，所以$x=6 + 5=11$。
综上，当$x = 1$或$x = 11$时，以点$P$、$A$、$D$、$E$为顶点的四边形是平行四边形。
2. （2）
解：
若以$P$、$A$、$D$、$E$为顶点的四边形是菱形，则$AD = AP=PE = ED$。
因为$DF\perp BC$，$AD// BC$，$DF = 4$，$AD = 5$，在$Rt\triangle DFC$中，$\angle C = 45^{\circ}$，$\angle DFC = 90^{\circ}$，所以$DF = FC = 4$。
由（1）知当四边形$APED$是平行四边形时，$AD = PE = 5$，$EC = 6$，则$EF=EC - FC=6 - 4 = 2$。
在$Rt\triangle DEF$中，根据勾股定理$DE=\sqrt{DF^{2}+EF^{2}}$，把$DF = 4$，$EF = 2$代入可得$DE=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16 + 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\neq5$。
当$x = 11$时，同理可得$DE\neq AD$。
所以以$P$、$A$、$D$、$E$为顶点的四边形不能构成菱形。
综上，（1）$x = 1$或$x = 11$；（2）不能构成菱形。