《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

12. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $AD$ 的中点,$EF\perp AC$ 交 $CB$ 的延长线于点 $F$,分别交 $AC$、$AB$ 于点 $M$、$P$. 求证：$AB$ 与 $EF$ 互相平分.

答案： 解：连接$BD$、$AF$、$BE$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD// BC$，$AC\perp BD$。
又因为$EF\perp AC$，所以$EF// BD$。
因为$E$是$AD$中点，$AE// BF$，$EF// BD$，所以四边形$BDEF$是平行四边形，则$AE = BF$。
又因为$AE// BF$，所以四边形$AFBE$是平行四边形。
根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，所以$AB$与$EF$互相平分。

13. 如图,在 $□ ABCD$ 中,$E$ 为 $BC$ 边上的一点. 连结 $AE$、$BD$,且 $AE = AB$.
(1) 求证：$\angle ABE = \angle EAD$；
(2) 若 $\angle ABE = 2\angle ADB$,求证：四边形 $ABCD$ 是菱形.

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle AEB=\angle EAD$。
又因为$AE = AB$，根据等边对等角，可得$\angle ABE=\angle AEB$。
所以$\angle ABE=\angle EAD$。
(2) 因为$AD// BC$，所以$\angle ADB=\angle DBE$。
又因为$\angle ABE = 2\angle ADB$，所以$\angle ABE = 2\angle DBE$，即$\angle ABD=\angle DBE$。
所以$\angle ABD=\angle ADB$，根据等角对等边，可得$AB = AD$。
又因为四边形$ABCD$是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形$ABCD$是菱形。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析。
(2) 证明过程如上述解析。