《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

6. 对角线互相____的平行四边形是菱形.

答案： 垂直

7. 在菱形 $ABCD$ 中,对角线 $AC = 6$,$BD = 10$,则菱形 $ABCD$ 的面积为____.

答案： 30

8. 如图,$E$、$F$ 分别是锐角 $\angle A$ 两边上的点,$AE = AF$；分别以点 $E$、$F$ 为圆心,以 $AE$ 的长为半径画弧,两弧相交于点 $D$,连结 $DE$、$DF$. 四边形 $AEDF$ 的形状是____,连结 $EF$,若 $AE = 8$,$\angle A = 60^{\circ}$,则线段 $EF$ 的长为____.

答案： 菱形 8

9. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$E$、$F$ 分别为 $AB$、$BC$ 的中点,$P$ 为 $AC$ 上任意一点,$AC = 6$,$BD = 8$,则 $PE + PF$ 的最小值为____cm.

答案： 5

10. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AD = 2AB$,点 $M$、$N$ 分别在边 $AD$、$BC$ 上,连结 $BM$、$DN$. 若四边形 $MBND$ 是菱形,则 $\frac{AM}{MD} = $____.

答案： $\dfrac{3}{5}$

11. 如图,在 $□ ABCD$ 中,$BF$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AD$ 于点 $F$,$AE\perp BF$ 于点 $O$,交 $BC$ 于点 $E$,连结 $EF$.
(1) 求证：四边形 $ABEF$ 是菱形；
(2) 连结 $CF$,若 $\angle ABC = 60^{\circ}$,$AB = 6$,$AF = 2DF$,求 $CF$ 的长.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle AFB=\angle FBE$。
又因为$BF$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABF = \angle FBE$，那么$\angle ABF=\angle AFB$，所以$AB = AF$。
因为$AE\perp BF$，所以$\angle AOB=\angle EOB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABO$和$\triangle EBO$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ABO=\angle EBO\\BO = BO\\\angle AOB=\angle EOB\end{array}\right.$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理可得$\triangle ABO\cong\triangle EBO$，所以$AB = BE$。
又因为$AF// BE$，所以四边形$ABEF$是平行四边形，又$AB = AF$，所以平行四边形$ABEF$是菱形。
2. （2）
因为$AB = 6$，$AF = 2DF$，且$AD = BC=AF + DF$，$AB = AF$，所以$AF = 6$，$DF = 3$，$AD=BC = 9$。
过点$F$作$FG\perp BC$于点$G$。
因为四边形$ABEF$是菱形，$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\angle FBE = 30^{\circ}$，$BE = AB = 6$，则$EC=BC - BE=9 - 6 = 3$。
在$Rt\triangle BFG$中，$\angle FBG = 30^{\circ}$，$BF = 2FG$，设$FG = x$，则$BF = 2x$，根据勾股定理$BG=\sqrt{BF^{2}-FG^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$。
因为$AB = AF = 6$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\triangle ABF$是等边三角形，$BF = AB = 6$，则$FG=\frac{1}{2}BF = 3$，$BG=\sqrt{3}×3 = 3\sqrt{3}$。
所以$GC=BC - BG=9 - 3\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle FGC$中，根据勾股定理$CF=\sqrt{FG^{2}+GC^{2}}$，$FG = 3$，$GC=9 - 3\sqrt{3}$，则$CF=\sqrt{3^{2}+(9 - 3\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{9+81-54\sqrt{3}+27}=\sqrt{117 - 54\sqrt{3}}=\sqrt{9×(13 - 6\sqrt{3})}=3\sqrt{7}$。
综上，（1）四边形$ABEF$是菱形得证；（2）$CF$的长为$3\sqrt{7}$。