《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

17. 如图,在正方形ABCD中,AB= 4,点P从点A出发,沿A—D—A以每秒2个单位长度的速度向终点A运动,同时点Q从点A出发,沿A—B以每秒1个单位长度的速度向终点B运动. 过点Q作EQ⊥AB交AC于点E,以点Q为直角顶点,EQ为直角边向右作等腰直角三角形QFE. 设运动时间为t(s),△QEF与正方形ABCD重叠部分的面积为S(平方单位).
(1)当t= 1.5s时,S= ______；当t= 3s时,S= ______；
(2)设$PD= y_1,AQ= y_2,$在如图②所示的平面直角坐标系中,画出$y_1$与$y_2$关于t的函数图象；
(3)当四边形PDEQ是平行四边形时,求t的值.

答案： $(1)$求$t = 1.5s$和$t = 3s$时$S$的值
当$t = 1.5s$时：
已知$AQ=t = 1.5$，因为$EQ\perp AB$，$\angle BAC = 45^{\circ}$（正方形对角线性质），所以$\triangle AQE$是等腰直角三角形，则$EQ = AQ=1.5$。
又因为$\triangle QEF$是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}a^{2}$（$a$为直角边），可得$S=\frac{1}{2}×1.5×1.5=\frac{9}{8}$。
当$t = 3s$时：
$AQ=t = 3$，$EQ = AQ = 3$，$BF=AB - AQ=4 - 3 = 1$。
此时重叠部分是一个等腰直角三角形，其直角边为$1$，根据等腰直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}a^{2}$，可得$S=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$。
$(2)$画$y_1$与$y_2$关于$t$的函数图象
对于$y_2$：$AQ=y_2=t$（$0\leq t\leq4$），这是一条过原点，斜率为$1$的线段。
对于$y_1$：
当$0\leq t\leq2$时，$PD = 4 - 2t$；当$2\lt t\leq4$时，$PD=2t - 4$。
先画$y_2=t(0\leq t\leq4)$，再画$y_1=\begin{cases}4 - 2t, &0\leq t\leq2\\2t - 4, &2\lt t\leq4\end{cases}$（图象略，$y_2$是从$(0,0)$到$(4,4)$的线段；$y_1$在$0\leq t\leq2$时是从$(0,4)$到$(2,0)$的线段，$2\lt t\leq4$时是从$(2,0)$到$(4,4)$的线段）。
$(3)$求当四边形$PDEQ$是平行四边形时$t$的值
解：
因为四边形$PDEQ$是平行四边形，所以$PD = EQ$。
当$0\leq t\leq2$时：
$PD = 4 - 2t$，$EQ = AQ=t$，由$PD = EQ$可得$4 - 2t=t$，
移项得$3t = 4$，解得$t=\frac{4}{3}$。
当$2\lt t\leq4$时：
$PD = 2t - 4$，$EQ = AQ=t$，由$PD = EQ$可得$2t - 4=t$，
移项得$2t-t = 4$，解得$t = 4$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{\frac{9}{8}}$；$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；$(3)$$t$的值为$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$或$\boldsymbol{4}$。

18. 探究：如图①,直线$l_1//l_2,$点A、B在直线$l_1$上,点C、D在直线$l_2$上. 记△ABC的面积为$S_1,△ABD$的面积为$S_2. $求证：$S_1= S_2.$
拓展：如图②,E为线段AB延长线上一点,BE＞AB,正方形ABCD、正方形BEFG在直线AB的同一侧.
求证：△DEG的面积是正方形BEFG面积的一半.
应用：如图③,在一条直线上依次有点A、B、C、D,正方形ABIJ、正方形BCGH、正方形CDEF均在直线AB的同一侧,且F、H分别是边CG、BI的中点. 若正方形CDEF的面积为1,则△AGI的面积为______.

答案：
探究：作 $ CM \perp l_1 $ 于点 $ M $，$ DN \perp l_1 $ 于点 $ N $，如图①
$ \because l_1 // l_2 $，$ CM \perp l_1 $，$ DN \perp l_1 $，
$ \therefore CM = DN $。
又 $ \because \triangle ABC $ 与 $ \triangle ABD $ 同底，
$ \therefore S_1 = S_2 $。


拓展：连结 $ BD $，如图②。
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 和四边形 $ BEFG $ 均为正方形，$ \therefore \angle ABD = \angle BEG = 45^{\circ} $。
$ \therefore BD // EG $。
由探究中的结论可得，$ S_{\triangle DEG} = S_{\triangle BEG} $。$ \because S_{\triangle BEG} = \dfrac{1}{2}S_{\text{正方形}BEFG} $，
$ \therefore S_{\triangle DEG} = \dfrac{1}{2}S_{\text{正方形}BEFG} $。
应用：8