《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

11. 如图,四边形$ABCD$是平行四边形,点$E$、$F在对角线AC$上,且$AE = CF$,连结$BE$、$DF$. 求证：$BE// DF$.

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AD// BC$，则$\angle DAF=\angle BCE$。
- 又因为$AE = CF$，所以$AE + EF=CF + EF$，即$AF = CE$。
- 在$\triangle ADF$和$\triangle CBE$中，$\begin{cases}AD = BC\\\angle DAF=\angle BCE\\AF = CE\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ADF\cong\triangle CBE$。
- 所以$\angle DFA=\angle BEC$，根据内错角相等，两直线平行，可得$BE// DF$。
【答案】：
证明见解析，$BE// DF$成立。

12. 如图,$□ ABCD的对角线AC和BD交于点O$,$E$、$F分别是OA$、$OC上的点且AE = CF$. 求证：$BE = DF$.

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，所以$OB = OD$，$OA = OC$。
- 又因为$AE = CF$，所以$OA - AE = OC - CF$，即$OE = OF$。
- 在$\triangle BEO$和$\triangle DFO$中，$\left\{\begin{array}{l}OB = OD\\\angle BOE=\angle DOF\\OE = OF\end{array}\right.$。
- 根据全等三角形判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），可得$\triangle BEO\cong\triangle DFO$。
- 再根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$BE = DF$。
【答案】：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OB = OD$，$OA = OC$。
$\because AE = CF$，$\therefore OA - AE = OC - CF$，即$OE = OF$。
在$\triangle BEO$和$\triangle DFO$中，$\left\{\begin{array}{l}OB = OD\\\angle BOE=\angle DOF\\OE = OF\end{array}\right.$，$\therefore\triangle BEO\cong\triangle DFO(SAS)$，$\therefore BE = DF$。

13. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$AB + AD = CD + CB$. 延长$DA至点M$,使$AM = AB$,延长$BC至点N$,使$CN = CD$,连结$BM$、$DN$.
求证：四边形$ABCD$是平行四边形.

答案： 【解析】：
因为$AM = AB$，所以$\angle M=\angle ABM$。
又因为$AD// BC$，所以$\angle M=\angle ABM=\angle CBM$。
同理可得$\angle N=\angle CDN=\angle ADN$。
因为$AB + AD = CD + CB$，$AM = AB$，$CN = CD$，所以$DM = BN$。
因为$AD// BC$，所以$\angle M=\angle N$。
在$\triangle MBD$和$\triangle NDB$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle M=\angle N\\ DM = BN\\ \angle MBD=\angle NDB\end{array}\right.$（$\angle MBD=\angle MBC+\angle CBD$，$\angle NDB=\angle NDC+\angle CDB$，由前面推理可得$\angle MBC=\angle M$，$\angle NDC=\angle N$，$\angle M=\angle N$，$\angle CBD=\angle CDB$），所以$\triangle MBD\cong\triangle NDB(ASA)$。
所以$AD = BC$。
又因为$AD// BC$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】：
四边形$ABCD$是平行四边形。