《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版》

14. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$E$,$F分别是边AD$,$BC$的中点,分别连结$CE$,$AF交对角线BD于点G$,$H$,连结$EH$,$FG$.
(1)求证：$\triangle ABF\cong\triangle CDE$；
(2)求证：四边形$EHFG$是平行四边形.

答案： $(1)$ 证明$\triangle ABF\cong\triangle CDE$
解：
已知四边形$ABCD$是平行四边形，则$AB = CD$，$AD = BC$，$\angle B=\angle D$。
因为$E$，$F$分别是边$AD$，$BC$的中点，所以$DE=\frac{1}{2}AD$，$BF=\frac{1}{2}BC$，又因为$AD = BC$，所以$DE = BF$。
在$\triangle ABF$和$\triangle CDE$中：
$\begin{cases}AB = CD\\\angle B=\angle D\\BF = DE\end{cases}$
根据三角形全等判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），可得$\triangle ABF\cong\triangle CDE$。
$(2)$ 证明四边形$EHFG$是平行四边形
解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle EDG=\angle FBH$。
又因为$E$，$F$分别是边$AD$，$BC$的中点，所以$DE = BF$。
在$\triangle DEG$和$\triangle BFH$中：
$\begin{cases}\angle EDG=\angle FBH\\\angle DGE=\angle BHF\\DE = BF\end{cases}$
根据三角形全等判定定理（$AAS$：两角及其中一角的对边对应相等的三角形全等），可得$\triangle DEG\cong\triangle BFH$。
所以$EG = FH$，$\angle DGE=\angle BHF$，则$EG// FH$（内错角相等，两直线平行）。
根据平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），因为$EG = FH$且$EG// FH$，所以四边形$EHFG$是平行四边形。
综上，$(1)$ 可证$\boldsymbol{\triangle ABF\cong\triangle CDE}$；$(2)$ 可证四边形$\boldsymbol{EHFG}$是平行四边形。

15. 如图,在$□ ABCD$中,$E$,$F是对角线BD$上的两点(点$E在点F$左侧),且$\angle AEB = \angle CFD = 90^{\circ}$,求证：四边形$AECF$是平行四边形.

答案： 【解析】：
- 因为$\angle AEB = \angle CFD = 90^{\circ}$，所以$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，则$AE// CF$。
- 由于四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB// CD$，那么$\angle ABE=\angle CDF$。
- 在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle AEB=\angle CFD\\\angle ABE = \angle CDF\\AB = CD\end{cases}$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。
- 由全等可知$AE = CF$。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因为$AE// CF$且$AE = CF$，所以四边形$AECF$是平行四边形。
【答案】：
因为$\angle AEB = \angle CFD = 90^{\circ}$，所以$AE// CF$。又因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB// CD$，$\angle ABE=\angle CDF$。在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle AEB=\angle CFD\\\angle ABE = \angle CDF\\AB = CD\end{cases}$，$\triangle ABE\cong\triangle CDF(AAS)$，$AE = CF$。因为$AE// CF$且$AE = CF$，所以四边形$AECF$是平行四边形。

16. 如图,在平面直角坐标系中,函数$y = \frac{k}{x}(k\neq 0,x ＞ 0)的图象经过点A(3,4)$,直线$AC与x轴交于点C(6,0)$,过点$C作x轴的垂线BC交函数y = \frac{k}{x}(k\neq 0,x ＞ 0)的图象于点B$.
(1)求$k的值及点B$的坐标；
(2)在平面内存在点$D$,使得以$A$、$B$、$C$、$D$四点为顶点的四边形为平行四边形,直接写出符合条件的所有点$D$的坐标.

答案：
(1)把点 $ A(3,4) $ 代入 $ y = \frac{k}{x} $ 中，得
$ 4 = \frac{k}{3} $，$ \therefore k = 3 × 4 = 12 $.
$ \therefore $ 对应的函数解析式为 $ y = \frac{12}{x} $.
$ \because $ 点 $ C(6,0) $，$ BC \perp x $ 轴，
$ \therefore $ 把 $ x = 6 $ 代入函数 $ y = \frac{12}{x} $ 中，得 $ y = \frac{12}{6} = 2 $. $ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 $ (6,2) $.
(2)符合条件的点 $ D $ 的坐标是 $ (3,2) $ 或 $ (3,6) $ 或 $ (9,-2) $.