《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

22. (8分)观察下面的几个式子：
$3×1^{2}= 3×1$；
$3×(1^{2}+2^{2})= 5×(1 + 2)$；
$3×(1^{2}+2^{2}+3^{2})= 7×(1 + 2 + 3)$；
$3×(1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2})= 9×(1 + 2 + 3 + 4)$；
……
(1)根据上面的规律,第$5$个式子为：______；
(2)根据上面的规律,第$n$个式子为：______；
(3)利用你发现的规律,写出$1^{2}+2^{2}+3^{2}+… +n^{2}= $______；
(4)利用你发现的规律,求出$1^{2}+2^{2}+3^{2}+… +10^{2}$的值,并写出过程。

答案：
(1)$3×(1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2})=11×(1+2+3+4+5)$
(2)$3×(1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots+n^{2})=(2n + 1)×(1+2+3+4+\cdots+n)$
(3)$\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
(4)原式$=\frac{10(10 + 1)(2×10 + 1)}{6}=385$.

23. (8分)三阶幻方是最基础的幻方,又叫九宫格,要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵,其对角线、横行、纵列的和都相等。

(1)如图①,请用$1\sim9$这九个整数填写幻方数阵。
(2)如图②,一数学兴趣小组的同学发现,对于三阶幻方,任何一个角上的数(如数$a$)都等于与这个数不在同一横行、纵列及对角线上的两个数(如数$b$、$c$)之和的一半,即$a= \frac{1}{2}(b + c)$,你认为他们的发现正确吗？说你的理由。
(3)如图③,一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方,要求填入$1\sim8这8$个整数,使每一横行($3$个数)、每一纵列($3$个数)以及大圆里面$4$个数的和都相等,请你填写出这$8$个数。(填写$1$种情况即可)

答案：

(1)如下图:(答案不唯一)

(2)正确,理由如下:
设九个数依次为m + 1,m + 2,…,m + 9,其各数之和为$(m + 1)+(m + 2)+\cdots+(m + 9)=9m + 45$,则第一横行、纵列和对角线上三数之和都为$\frac{1}{3}(9m + 45)=3m + 15$,所以正中间的数为$\frac{1}{3}[4(3m + 15)-(9m + 45)]=m + 5$,即每一横行(纵列、对角线)上的三数之和是正中间数的3倍,设正中间的数为x,填表如下,

则$a + 2x - c = b + 2x - a$,即$a=\frac{1}{2}(b + c)$.
(3)如下图.(答案不唯一)