《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

22. (8分)观察下列等式：
$(x-1)(x+1)= x^{2}-1$；
$(x-1)(x^{2}+x+1)= x^{3}-1$；
$(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)= x^{4}-1$；
$(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)= x^{5}-1$；
……
(1)猜想$(x-1)(x^{n}+x^{n-1}+x^{n-2}+... +x+1)= $____。
(2)运用上述规律,试求：
①$2^{19}+2^{18}+2^{17}+... +2^{3}+2^{2}+2+1$；
②$5^{2025}+5^{2024}+5^{2023}+... +5^{3}+5^{2}+5+1$。

答案： 【解析】：
本题主要考察整式的乘除以及代数式的规律识别。
(1) 通过观察给出的等式，可以发现每个等式右边的指数是左边括号内$x$的指数加1，且符号为正。
因此，可以猜想$(x-1)(x^{n}+x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)=x^{n+1}-1$。
(2) ① 对于$2^{19}+2^{18}+2^{17}+...+2^{3}+2^{2}+2+1$，
可以将其看作$(2-1)$乘以这个数列，即应用
(1)中的规律，
得到$2^{20}-1$。
② 对于$5^{2025}+5^{2024}+5^{2023}+...+5^{3}+5^{2}+5+1$，
同样可以将其看作$(5-1)$乘以这个数列，
应用
(1)中的规律，得到$\frac{5^{2026}-1}{4}$。
【答案】：
(1) $x^{n+1}-1$
(2) ① $2^{20}-1$
② $\frac{5^{2026}-1}{4}$

23. (8分)拓广探索：若$x满足(9-x)(x-4)= 4$,求$(9-x)^{2}+(x-4)^{2}$的值。
解：设$9-x= a$,$x-4= b$,
则$(9-x)(x-4)= ab= 4$,$a+b= (9-x)+(x-4)= 5$,
所以$(9-x)^{2}+(x-4)^{2}= a^{2}+b^{2}= (a+b)^{2}-2ab= 5^{2}-2×4= 17$。
请仿照上面的方法求解问题：
(1)若$x满足(5-x)(x-2)= 2$,求$(5-x)^{2}+(x-2)^{2}$的值；
(2)已知正方形ABCD的边长为$x$,E,F分别是AD,DC上的点,且$AE= 1$,$CF= 3$,长方形EMFD的面积是48,分别以MF,DF为边作正方形,求阴影部分的面积。

答案： 【解析】：本题可根据所给示例的方法，通过换元法将复杂的式子进行简化，再利用完全平方公式求解。
（1）求$(5 - x)^2 + (x - 2)^2$的值
设$5 - x = a$，$x - 2 = b$。
步骤一：分析$ab$与$a + b$的值
已知$(5 - x)(x - 2) = 2$，则$ab = 2$；
$a + b=(5 - x)+(x - 2)=5 - x + x - 2 = 3$。
步骤二：计算$(5 - x)^2 + (x - 2)^2$的值
根据完全平方公式$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，将$ab = 2$，$a + b = 3$代入可得：
$(5 - x)^2 + (x - 2)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 3^2 - 2×2 = 9 - 4 = 5$。
（2）求阴影部分的面积
已知正方形$ABCD$的边长为$x$，$AE = 1$，$CF = 3$，长方形$EMFD$的面积是$48$。
步骤一：表示出$MF$与$DF$的长度
因为$AE = 1$，所以$DE = x - 1$；又因为$CF = 3$，所以$DF = x - 3$。
由于长方形$EMFD$的面积是$48$，且长方形面积$=$长$×$宽，所以$MF× DF = 48$，即$(x - 1)(x - 3) = 48$。
设$x - 1 = a$，$x - 3 = b$，则$ab = 48$，$a - b=(x - 1)-(x - 3)=x - 1 - x + 3 = 2$。
步骤二：计算阴影部分的面积
阴影部分的面积为$MF^2 - DF^2$，即$a^2 - b^2$。
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，先求$(a + b)^2$的值：
$(a + b)^2=(a - b)^2 + 4ab = 2^2 + 4×48 = 4 + 192 = 196$，则$a + b = \sqrt{196} = 14$（因为$a$、$b$为边长相关量，大于$0$，所以取正）。
将$a + b = 14$，$a - b = 2$代入平方差公式可得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)=14×2 = 28$，即阴影部分的面积为$28$。
【答案】：（1）$5$；（2）$28$。