《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

23. (8分)在“优秀传统文化进校园”活动中,学校计划每周二下午第三节课开展此项活动,拟开展活动项目为:剪纸,武术,书法,器乐.要求七年级学生人人参加,并且每人只能参加其中一项活动.教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查,并对此进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整).

请解答下列问题:
(1)请补全条形统计图和扇形统计图.
(2)若该校七年级学生共有500人,请估计其中参加“书法”活动项目的有多少人.
(3)学校教务处要从这些被调查的女生中,随机抽取一人了解具体情况,那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少?

答案：

(1)由条形统计图知,男生共有10 + 20 + 13 + 9=52(人),所以女生人数为100 - 52=48(人),所以参加武术的女生为48 - 15 - 8 - 15=10(人),所以参加武术的人数为20 + 10=30(人),所以30÷100=30%,参加器乐的人数为9 + 15=24(人),所以24÷100=24%,补全条形统计图和扇形统计图如图所示:

(2)$500×21\%=105$(人).答:估计其中参加“书法”活动项目的有105人.
(3)$\frac{15}{15 + 10 + 8 + 15}=\frac{15}{48}=\frac{5}{16}$.答:正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是$\frac{5}{16}$.

24. (10分)在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ AC = BC $,直线MN经过点C,且 $ AD \perp MN $ 于D, $ BE \perp MN $ 于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时,求证:① $ \triangle ADC \cong \triangle CEB $;② $ DE = AD + BE $.
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时,请直接写出线段DE,AD,BE之间的数量关系.

答案：
(1)①因为AD⊥DE,BE⊥DE,所以∠ADC=∠BEC=90°.因为∠ACB=90°,所以∠ACD + ∠BCE=90°,∠DAC + ∠ACD=90°,所以∠DAC=∠BCE.在△ADC和△CEB中,$\begin{cases}\angle CDA=\angle BEC,\\\angle DAC=\angle ECB,\\AC = BC,\end{cases}$所以△ADC≌△CEB(AAS).②由①知△ADC≌△CEB,所以AD=CE,CD=BE.因为DC + CE=DE,所以AD + BE=DE.
(2)DE=AD - BE.解析:因为BE⊥CE,AD⊥CE,所以∠ADC=∠BEC=90°,所以∠EBC + ∠ECB=90°.因为∠ACB=90°,所以∠ECB + ∠ACE=90°,所以∠ACD=∠EBC.在△ADC和△CEB中,$\begin{cases}\angle ACD=\angle CBE,\\\angle ADC=\angle CEB,\\AC = CB,\end{cases}$所以△ADC≌△CEB(AAS),所以AD=CE,CD=BE,所以DE=EC - CD=AD - BE,即DE=AD - BE.