《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

21. (8分)观察下列等式：
第1个等式：$a_{1} = \frac{1}{1×3} = \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{3})$；
第2个等式：$a_{2} = \frac{1}{3×5} = \frac{1}{2} × (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$；
第3个等式：$a_{3} = \frac{1}{5×7} = \frac{1}{2} × (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$；
第4个等式：$a_{4} = \frac{1}{7×9} = \frac{1}{2} × (\frac{1}{7} - \frac{1}{9})$；
……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：$a_{5} = $______ = ______；
(2)求$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + … + a_{100}$的值.

答案：
(1)$\frac{1}{9×11}$ $\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2)$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{100}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+\cdots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+\cdots+\frac{1}{199}-\frac{1}{201})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{201})=\frac{1}{2}×\frac{200}{201}=\frac{100}{201}$.

22. (8分)认真阅读下面的材料,完成有关问题.
材料：在学习绝对值时,老师教过我们绝对值的几何含义,如$|5 - 3|$表示5,3在数轴上对应的两点之间的距离；$|5 + 3| = |5 - (-3)|$,所以$|5 + 3|$表示5,-3在数轴上对应的两点之间的距离；$|5| = |5 - 0|$,所以$|5|$表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地,点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,那么A,B之间的距离可以表示为$|a - b|$.
(1)点A,B,C在数轴上分别表示有理数x,-2,1,那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______(用含绝对值的式子表示).
(2)利用数轴探究：①找出满足$|x - 3| + |x + 1| = 6$的x的所有值是______；②设$|x - 3| + |x + 1| = p$,当x的值取在不小于-1且不大于3的范围时,p的值是不变的,而且是p的最小值,这个最小值是______；当x的值取在______的范围时,$|x| + |x - 2|$取得最小值,这个最小值是______.
(3)求$|x - 3| + |x - 2| + |x + 1|$的最小值为______,此时x的值为______.
(4)求$|x - 3| + |x - 2| + |x + 1| + |x + 2|$的最小值,求此时x的取值范围.

答案：
(1)$|x+2|+|x-1|$
(2)①-2,4 ②4 不小于0且不大于2 2
(3)4 2
(4)方法一:$|x-3|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=(|x-3|+|x+2|)+(|x-2|+|x+1|)$,要使$|x-3|+|x+2|$的值最小,x的取值-2到3之间(包括-2,3)的任意一个数,要使$|x-2|+|x+1|$的值最小,x的取值-1到2之间(包括-1,2)的任意一个数,显然当x取-1到2之间(包括-1,2)的任意一个数能同时满足要求,不妨取$x=0$代入原式,得$|x-3|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=3+2+1+2=8$. 方法二:当x的值取在-1到2之间(包括-1,2)时,$|x-3|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=-(x-3)-(x-2)+(x+1)+(x+2)=-x+3-x+2+x+1+x+2=8$.