《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

22. 探究活动：
(1)探究规律：15^{2}= 15×15= 225= (1×2)×100+25,
25^{2}= 25×25= 625= (2×3)×100+25,
35^{2}= 35×35= 1225= (3×4)×100+25,
45^{2}= ____,
…(2)猜想规律：$\overline {a5}^{2}= ____(\overline {a5}$表示十位上数字是a,个位上数字是5的两位数$,\overline {a5}^{2}$表示此两位数的平方)。(3)请证明上述猜想。(4)知识迁移：“十位上的数字相同,个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当b+d= 10时$,\overline {ab}\cdot \overline {ad}$会不会也有类似规律？请探索找出规律并证明。

答案：
(1)$45×45=2025=(4×5)×100+25$
(2)$100a(a+1)+25$
(3)等式的左边$=(10a+5)^{2}=100a^{2}+100a+25$,等式的右边$=100a^{2}+100a+25$,左边=右边,所以$\overline{a5}^{2}=100a(a+1)+25$成立.
(4)当$b+d=10$时,$\overline{ab}\cdot\overline{ad}$也有类似规律,即$\overline{ab}\cdot\overline{ad}=100a(a+1)+bd$,理由如下:左边$=\overline{ab}\cdot\overline{ad}=(10a+b)\cdot(10a+d)=100a^{2}+10ab+10ad+bd$,右边$=100a(a+1)+bd=100a^{2}+10×10a+bd=100a^{2}+(b+d)×10a+bd=100a^{2}+10ab+10ad+bd$,所以左边=右边,所以当$b+d=10$时,$\overline{ab}\cdot\overline{ad}$也有类似规律,即$\overline{ab}\cdot\overline{ad}=100a(a+1)+bd$.

23. 定义新运算“$\triangle$”和“$□$”：
①定义新运算“$\triangle$”：给定有理数$a,b$,对于整式$A,B$,规定$A\triangle B= aA-bB$,等式右边是通常的减法、乘法运算；
②定义新运算“$□$”：给定正整数$n(n≥2)$,对于整式$M$,规定$n□ M= \underbrace {M\triangle M…\triangle \triangle M}_{n个M}$(按从左到右的顺序依次作“$\triangle$”运算),例如：当$a= 1,b= 2,n= 2$时,对于$A= x,B= y$,则有$A\triangle B= A-2B= x-2y,2□ A= A\triangle A= x-2x= -x$。
(1)当$a= 2,b= 2$时,若$A= x+2y,B= 2x-3y$,求$A\triangle B和3□ A$；
(2)直接写出一组$a,b$的值,使得对任意一个正整数$n(n≥2)和任意一个整式M$,都有$n□ M= M$成立；
(3)当$a= 1,b= 2$时,若$A= 4x^{2}+3xy+5y^{2}$,$B= 10x^{2}-7xy+6y^{2}+8$,若$(p□ A)\triangle (q□ B)$($p,q$为正整数,且$p≥2,q≥2$)中不含$x^{2}$项,直接写出满足条件的一组$p,q$的值。

答案：
(1)当$a=2,b=2$时,$A\triangle B=2A-2B$,当$A=x+2y,B=2x-3y$时,$A\triangle B=2(x+2y)-2(2x-3y)=2x+4y-4x+6y=-2x+10y$;$3□ A=A\triangle A\triangle A=[2(x+2y)-2(x+2y)]\triangle(x+2y)=0\triangle(x+2y)=2×0-2(x+2y)=0-2x-4y=-2x-4y$.
(2)$a=1,b=0$. 解析:当$a=1,b=0$时,$A\triangle B=1× A-0× B=A$,$n□ M=\underbrace{M\triangle M\triangle\cdots\triangle M}_{n个M}=\underbrace{M\triangle M\triangle\cdots\triangle M}_{(n-1)个M}=\underbrace{M\triangle M\triangle\cdots\triangle M}_{(n-2)个M}=\cdots=M$.
(3)$p=4,q=2$. 解析:当$a=1,b=2$时,$A\triangle B=A-2B$,又因为$A=4x^{2}+3xy+5y^{2},B=10x^{2}-7xy+6y^{2}+8$,$(p□ A)\triangle(q□ B)$(p,q为正整数,且$p\geq2,q\geq2$)中不含$x^{2}$项,所以运算中只考虑$x^{2}$项,$2□ A=A\triangle A=A-2A=-A(-4x^{2})$,$3□ A=A\triangle A\triangle A=(-A)\triangle A=-3A(-12x^{2})$,$4□ A=A\triangle A\triangle A\triangle A=(-A)\triangle A\triangle A=-3A\triangle A=-5A(-20x^{2})$,…,$2□ B=B\triangle B=B-2B=-B(-10x^{2})$,…,$(4□ A)\triangle(q□ B)=(-20x^{2})\triangle(-10x^{2})=-20x^{2}-2×(-10x^{2})=-20x^{2}+20x^{2}=0$,所以当$(p□ A)\triangle(q□ B)$(p,q为正整数,且$p\geq2,q\geq2$)中不含$x^{2}$项时,满足条件的$p=4,q=2$.