《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

21. 如图是一根可伸缩的鱼竿,鱼竿是用 10 节大小不同的空心套管连接而成. 闲置时鱼竿可收缩,完全收缩后,鱼竿长度即为第 1 节套管的长度(如图①所示)；使用时,可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图②所示). 图③是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图. 已知第 1 节套管长 50 cm,第 2 节套管长 46 cm,以此类推,每一节套管均比前一节套管少 4 cm. 完全拉伸时,为了使相邻两节套管连接并固定,每相邻两节套管间均有相同长度的重叠,设其长度为$x$cm.
(1) 请直接写出第 5 节套管的长度；
(2) 当这根鱼竿完全拉伸时,其长度为 311 cm,求$x$的值.

答案：
(1)第5节套管的长度为$50-4×(5-1)=34(\text{cm})$.
(2)第10节套管的长度为$50-4×(10-1)=14(\text{cm})$,设每相邻两节套管间重叠的长度为$x\ \text{cm}$,根据题意,得$(50+46+42+\cdots+14)-9x=311$,即$320-9x=311$,解得$x=1$.答:每相邻两节套管间重叠的长度为1cm.

22. 某开发商进行商铺促销,广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后,必须由开发商代为租赁 5 年,5 年期满后由开发商以比原商铺标价高 20%的价格进行回购,投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款,每年可以获得的租金为商铺标价的 10%.
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款,2 年后每年可以获得的租金为商铺标价的 10%,但要缴纳租金的 10%作为管理费用.
(1) 请问：投资者选择哪种购铺方案,5 年后所获得的投资收益率更高？为什么？
(注：投资收益率$= \frac{投资收益}{实际投资额} × 100\%$)
(2) 对同一标价的商铺,甲选择了购铺方案一,乙选择了购铺方案二,那么 5 年后两人获得的收益将相差 5 万元. 问：甲、乙两人各投资了多少万元？

答案：
(1)设商铺标价为$x$万元,则按方案一购买,可获投资收益$(120\%-1)\cdot x+x\cdot10\%×5=0.7x$.投资收益率为$0.7x÷ x×100\%=70\%$.按方案二购买,则可获投资收益$(120\%-0.85)\cdot x+x\cdot10\%×(1-10\%)×3=0.62x$.投资收益率为$0.62x÷0.85x×100\%\approx72.9\%$.所以投资者选择方案二所获得的投资收益率更高.
(2)由题意得$0.7x-0.62x=5$.解得$x=62.5$. $62.5×0.85=53.125$(万元),所以甲投资了62.5万元,乙投资了53.125万元.