《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

12. 若$3×9^{m}×3^{3m}= 3^{21}$,则$m$的值为____。

答案： 【解析】：
题目考查的是整式的乘除以及指数的性质。
首先，将$9^m$转换为$3^{2m}$，因为$9 = 3^2$。
所以，原式$3 × 9^{m} × 3^{3m}$可以写为$3 × 3^{2m} × 3^{3m}$。
根据指数法则，当底数相同时，指数相加，即$a^m × a^n = a^{m+n}$。
应用这一法则，我们得到：
$3 × 3^{2m} × 3^{3m} = 3^{1+2m+3m} = 3^{1+5m}$
由题意知，这个表达式等于$3^{21}$，所以我们有：
$1 + 5m = 21$
解这个方程，我们得到：
$5m = 20$
$m = 4$
【答案】：
$m = 4$

13. 已知$ab= a+b+1$,则$(a-1)(b-1)= $____。

答案： 解：
$\begin{aligned}(a-1)(b-1)&=ab - a - b + 1\\\because ab&=a + b + 1\\\therefore (a-1)(b-1)&=(a + b + 1) - a - b + 1\\&=a + b + 1 - a - b + 1\\&=2\end{aligned}$
故答案为：2

14. 一个三角形的底边长为$(2a+4)cm$,底边上的高为$(2a-4)cm$,则这个三角形的面积为____$cm^{2}$。

答案： 【解析】：
本题主要考查三角形面积的计算以及整式的乘法运算。
首先，根据三角形面积的计算公式，面积 $S = \frac{1}{2} × \text{底边长} × \text{高}$。
题目中给出底边长为 $(2a+4)cm$，高为 $(2a-4)cm$。
将这些值代入面积公式，得到：
$S = \frac{1}{2} × (2a + 4) × (2a - 4)$
利用整式的乘法运算，特别是平方差公式 $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$，进行化简：
$S = \frac{1}{2} × ((2a)^2 - 4^2)$
$S = \frac{1}{2} × (4a^2 - 16)$
$S = 2a^2 - 8$
所以，这个三角形的面积为 $(2a^2 - 8)cm^2$。
【答案】：
$2a^2 - 8$

15. 如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为$(2a+b)$,宽为$(a+2b)$的大长方形,那么需要A类、B类和C类卡片的张数分别为____。

答案： 【解析】：
本题考查了整式的乘除与几何图形面积的计算。
要求分别计算出长为$(2a+b)$，宽为$(a+2b)$的大长方形的面积，和边长为$a$的$A$类卡片、边长为$b$的$B$类卡片、长为$a$宽为$b$的$C$类卡片的面积。
大长方形的面积根据长方形面积公式$S = \text{长}×\text{宽}$，可得：
$(2a + b)(a + 2b)$
根据多项式乘法法则将其展开：
$\begin{aligned}&(2a + b)(a + 2b)\\=&2a× a+2a×2b + b× a + b×2b\\=&2a^{2}+4ab+ab + 2b^{2}\\=&2a^{2}+5ab + 2b^{2}\end{aligned}$
$A$类卡片是边长为$a$的正方形，根据正方形面积公式$S = \text{边长}×\text{边长}$，其面积为$a× a=a^{2}$。
$B$类卡片是边长为$b$的正方形，其面积为$b× b = b^{2}$。
$C$类卡片是长为$a$，宽为$b$的长方形，根据长方形面积公式可得其面积为$a× b=ab$。
大长方形面积$2a^{2}+5ab + 2b^{2}$中$a^{2}$的系数是$2$，所以$A$类卡片的张数为$2$张；
$ab$的系数是$5$，所以$C$类卡片的张数为$5$张；
$b^{2}$的系数是$2$，所以$B$类卡片的张数为$2$张。
【答案】：
$2$，$2$，$5$。

16. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表,此表揭示了$(a+b)^{n}$($n$为非负数)展开式的各项系数的规律。例如：

$(a+b)^{0}= 1$,它只有一项,系数为1；
$(a+b)^{1}= a+b$,它有两项,系数分别为1,1；
$(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$,它有三项,系数分别为1,2,1；
$(a+b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$,它有四项,系数分别为1,3,3,1；
根据以上规律,$(a+b)^{4}$的展开式共有五项,系数分别为____。

答案： 【解析】：
本题主要考查通过观察杨辉三角的规律来确定$(a+b)^{n}$展开式的各项系数。
从已知条件可知：
$(a+b)^{0}=1$，系数为$1$；
$(a+b)^{1}=a+b$，系数为$1$，$1$；
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，系数为$1$，$2$，$1$；
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$，系数为$1$，$3$，$3$，$1$。
观察杨辉三角，可以发现每一行的数字就是$(a + b)^n$展开式的系数，且下一行的数字是由上一行相邻两数之和得到的。
对于$(a+b)^{4}$，根据杨辉三角的规律，其系数是在$(a+b)^{3}$系数$1$，$3$，$3$，$1$的基础上，相邻两数相加得到的。
即第一个数$1$不变；第二个数是上一行第一个数和第二个数相加，$1 + 3 = 4$；第三个数是上一行第二个数和第三个数相加，$3 + 3 = 6$；第四个数是上一行第三个数和第四个数相加，$3 + 1 = 4$；第五个数$1$不变。
所以$(a+b)^{4}$展开式的系数分别为$1$，$4$，$6$，$4$，$1$。
【答案】：
$1$，$4$，$6$，$4$，$1$

17. (9分)计算：
(1)$a^{3}\cdot a^{4}\cdot a+(a^{2})^{4}+(-2a^{4})^{2}$；
(2)$[(2a+b)^{4}-(2a+b)^{2}]÷(2a+b)^{2}$；
(3)$(a-2b+c)(a+2b+c)$。

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的乘除运算，包括同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，以及整式的除法和乘法公式。
(1) 对于 $a^{3}\cdot a^{4}\cdot a+(a^{2})^{4}+(-2a^{4})^{2}$，需要分别应用同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则和积的乘方法则进行计算，然后合并同类项。
(2) 对于 $[(2a+b)^{4}-(2a+b)^{2}]÷(2a+b)^{2}$，需要应用整式的除法法则，将每一项分别除以 $(2a+b)^{2}$。
(3) 对于 $(a-2b+c)(a+2b+c)$，可以将其看作是两个三项式的乘积，应用平方差公式和完全平方公式进行化简。
【答案】：
(1) 解：
原式 = $a^{3}\cdot a^{4}\cdot a + (a^{2})^{4} + (-2a^{4})^{2}$
= $a^{3+4+1} + a^{2×4} + 4a^{8}$ （应用同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则和积的乘方法则）
= $a^{8} + a^{8} + 4a^{8}$
= $6a^{8}$ （合并同类项）
(2) 解：
原式 = $[(2a+b)^{4} - (2a+b)^{2}] ÷ (2a+b)^{2}$
= $(2a+b)^{4} ÷ (2a+b)^{2} - (2a+b)^{2} ÷ (2a+b)^{2}$ （应用整式的除法法则）
= $(2a+b)^{2} - 1$ （化简）
= $4a^{2} + 4ab + b^{2} - 1$ （应用完全平方公式展开）
(3) 解：
原式 = $(a-2b+c)(a+2b+c)$
= $[(a+c)-2b][(a+c)+2b]$ （调整顺序，将其看作是两个二项式的乘积）
= $(a+c)^{2} - (2b)^{2}$ （应用平方差公式）
= $a^{2} + 2ac + c^{2} - 4b^{2}$ （应用完全平方公式展开）

18. (6分)利用乘法公式计算。
(1)$121×119$；
(2)$2025^{2}-4050×2026+2026^{2}$。

答案： 【解析】：
本题主要考察平方差公式和完全平方公式的运用。
(1) 对于 $121 × 119$，可以将其看作是 $(120 + 1) × (120 - 1)$，利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，进行化简。
(2) 对于 $2025^{2} - 4050 × 2026 + 2026^{2}$，可以将其看作是 $2025^{2} - 2 × 2025 × 2026 + 2026^{2}$，这是完全平方公式的形式 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，进行化简。
【答案】：
(1) 解：
$121 × 119$
$= (120 + 1) × (120 - 1)$
$= 120^{2} - 1^{2}$
$= 14400 - 1$
$= 14399$
(2) 解：
$2025^{2} - 4050 × 2026 + 2026^{2}$
$= 2025^{2} - 2 × 2025 × 2026 + 2026^{2}$
$= (2025 - 2026)^{2}$
$= (-1)^{2}$
$= 1$