《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

20. 已知一块肥皂的长、宽、高分别为$3a$,$2a$,$a$。
(1)求一块肥皂的表面积。
(2)厂家为了促销,特推出一种由4块组成的经济装,如图是该包装的六种设计图,问哪种设计图能使外包装的材料最少(即包装后的表面积最小)？说明理由,并求出此时外包装的表面积。

答案：
(1)一块肥皂的表面积为2(3a×2a + 2a×a + 3a×a)=22a².
(2)①,②,③,④,⑤,⑥重合部分的总面积分别为18a²,20a²,12a²,32a²,36a²,36a²,其中最大的是⑤,⑥,则这两种包装用料最少.此时外包装的表面积为22a²×4 - 36a² = 52a².

21. 小明用《几何画板》画图,他先画了两条平行线$AB$,$CD$,然后在平行线间画了一点$E$,连接$BE$,$DE$(如图①)后,它用鼠标左键点住点$E$,拖动后,分别得到如图②、③、④等图形,这时他突然一想,$\angle B$,$\angle D与\angle BED$之间的度数有没有某种联系呢？接着小明同学通过利用《几何画板》的“度量角度”和“计算”的功能,找到了这三个角之间的关系。
(1)请你分别写出图①至图④各图中的$\angle B$,$\angle D与\angle BED$之间的关系；
(2)证明从图③中得到的结论。

答案：
(1)①∠B + ∠D = ∠BED　②∠B + ∠D + ∠BED = 360°③∠BED = ∠D - ∠B　④∠BED = ∠B - ∠D
(2)过点E向右作EF//AB.因为AB//CD,所以EF//CD,所以∠D = ∠DEF,∠B = ∠BEF.又因为∠BED = ∠DEF - ∠BEF,所以∠BED = ∠D - ∠B.