《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

20. 已知$(x^{2}+mx+1)(x^{2}-2x+n)的展开式中不含x^{2}和x^{3}$项。
(1)分别求$m,n$的值；
(2)先化简,再求值：$2n^{2}+(2m+n)(m-n)-(m-n)^{2}$。

答案：
(1)$(x^{2}+mx+1)(x^{2}-2x+n)$
$=x^{4}-2x^{3}+nx^{2}+mx^{3}-2mx^{2}+mnx+x^{2}-2x+n$
$=x^{4}+(-2+m)x^{3}+(n-2m+1)x^{2}+(mn-2)x+n$,
因为$(x^{2}+mx+1)(x^{2}-2x+n)$的展开式中不含$x^{2}$和$x^{3}$项,所以$-2+m=0,n-2m+1=0$,解得$m=2,n=3$.
(2)$2n^{2}+(2m+n)(m-n)-(m-n)^{2}$
$=2n^{2}+2m^{2}-2mn+mn-n^{2}-m^{2}+2mn-n^{2}$
$=m^{2}+mn$,
当$m=2,n=3$时,原式$=4+6=10$.

21. 用如图所示的曲尺形框(有三个方向)可以框住下表中的三个数,设被框住的三个数中最小的数为$a$。
(1)用含$a$的式子表示这三个数的和；
(2)若这三个数的和是48,求$a$的值。

答案：
(1)设被第一个框框住的三个数中最小的数为a,则$a+a+1+a+7=3a+8$;设被第二个框框住的三个数中最小的数为a,则$a+a+7+a+8=3a+15$;设被第三个框框住的三个数中最小的数为a,则$a+a+1+a+8=3a+9$.
(2)设被第一个框框住的三个数的和是48,则$3a+8=48$,解得$a=\frac{40}{3}$,显然不符合题意.设被第二个框框住的三个数的和是48,则$3a+15=48$,解得$a=11$,符合题意.设被第三个框框住的三个数的和是48,则$3a+9=48$,解得$a=13$,符合题意.所以a的值为11或13.