《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

1. 如图所示,直线AB,CD交于点O,下列说法正确的是( )

A.$ \angle AOD = \angle BOD $
B.$ \angle AOC = \angle DOB $
C.$ \angle AOD + \angle BOC = 361^{\circ} $
D.以上都不对

答案： B

2. 如图,因为直线$ AB \perp l $于点B,$ BC \perp l $于点B,所以直线AB和BC重合,则其中蕴含的数学原理是( )

A.平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.垂线段最短
C.过一点只能作一条垂线
D.两点确定一条直线

答案： 【解析】：
本题可根据垂线的性质来分析直线$AB$和$BC$重合所蕴含的数学原理。
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
在本题中，点$B$是直线$l$外一点，直线$AB\perp l$于点$B$，$BC\perp l$于点$B$，即过点$B$有两条直线$AB$和$BC$都与直线$l$垂直，而根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以直线$AB$和$BC$必然重合。
下面对各选项进行分析：
选项A：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合本题所体现的数学原理，该选项正确。
选项B：垂线段最短，强调的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，与本题中直线$AB$和$BC$重合的原因无关，该选项错误。
选项C：表述不准确，过一点可以作无数条直线，只是过一点与已知直线垂直的直线只有一条，该选项错误。
选项D：两点确定一条直线，说的是经过两点有且只有一条直线，与本题中过一点与已知直线垂直的直线唯一性无关，该选项错误。
【答案】：A

3. 如图所示,下列说法中正确的是( )
① $ \angle 1 与 \angle 3 $是同位角；

② $ \angle 1 与 \angle 5 $是同位角；
③ $ \angle 1 与 \angle 2 $是同旁内角；
④ $ \angle 1 与 \angle 4 $是内错角.

A.①和③
B.②和③
C.②和④
D.③和④

答案： 【解析】：本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念及识别。
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，叫做同位角。
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。
对于①，$\angle 1$与$\angle 3$是同旁内角，不是同位角，所以①错误。
对于②，$\angle 1$与$\angle 5$既不是同位角，也不是内错角和同旁内角，所以②错误。
对于③，$\angle 1$与$\angle 2$在截线的同旁，且在被截两直线之间，是同旁内角，所以③正确。
对于④，$\angle 1$与$\angle 4$在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，是内错角，所以④正确。
综上，③和④正确，答案选D。
【答案】：D。

4. 如图,三条直线相交于点O.若$ CO \perp AB $,$ \angle 1 = 65^{\circ} $,则$ \angle 2 $等于( )


A.$ 30^{\circ} $
B.$ 25^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 56^{\circ} $

答案： 【解析】：本题主要考查了垂直的定义以及角的计算。
已知$CO\perp AB$，根据垂直的定义，可知$\angle AOC = 90^{\circ}$。
因为$\angle 1 = 65^{\circ}$，且$\angle AOC=\angle 1+\angle 2$（由图可知这三个角组成一个平角，平角为$180^{\circ}$，这里$\angle AOC$是直角$90^{\circ}$，$\angle 1$与$\angle 2$和为$90^{\circ}$ ，也可以理解为$\angle 1$与$\angle 2$是$\angle AOC$拆分出来的两个角），所以$\angle 2=\angle AOC - \angle 1$。
将$\angle AOC = 90^{\circ}$，$\angle 1 = 65^{\circ}$代入上式，可得$\angle 2 = 90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
【答案】：B。

5. 如图,小颖绘制了一张潜望镜原理示意图,两个平面镜的镜面AB与CD平行,入射光线a与出射光线b平行.若入射光线a与镜面AB的夹角$ \angle 1 = 45^{\circ} $,则$ \angle 4 $的度数为( )


A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $

答案： 【解析】：本题可根据平行线的性质以及光线反射的原理来求解$\angle 4$的度数。
步骤一：根据光线反射原理和平行线的性质求出$\angle 2$的度数
已知入射光线$a$与镜面$AB$的夹角$\angle 1 = 45^{\circ}$，根据光线反射原理，入射角等于反射角，入射角是入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，所以$\angle 1$与$\angle 2$互余，则$\angle 2 = 45^{\circ}$。
步骤二：根据平行线的性质求出$\angle 3$的度数
因为两个平面镜的镜面$AB$与$CD$平行，根据两直线平行，同位角相等，$\angle 2$与$\angle 3$是同位角，所以$\angle 3 = \angle 2 = 45^{\circ}$。
步骤三：根据光线反射原理和平行线的性质求出$\angle 4$的度数
同样根据光线反射原理，出射光线$b$与镜面$CD$的夹角和$\angle 3$互余，所以出射光线$b$与镜面$CD$的夹角为$45^{\circ}$，又因为入射光线$a$与出射光线$b$平行，所以$\angle 4$与出射光线$b$和镜面$CD$的夹角相等，即$\angle 4 = 45^{\circ}$。
【答案】：B

6. 如图,点E在CD的延长线上,下列条件中不能判定$ BD // AC $的是( )

A.$ \angle 1 = \angle 2 $
B.$ \angle 3 = \angle 4 $
C.$ \angle 5 = \angle C $
D.$ \angle C + \angle BDC = 180^{\circ} $

答案： 解：A.
∵∠1=∠2，
∴BD//AC（内错角相等，两直线平行），故A不符合题意；
B.
∵∠3=∠4，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），不能判定BD//AC，故B符合题意；
C.
∵∠5=∠C，
∴BD//AC（同位角相等，两直线平行），故C不符合题意；
D.
∵∠C+∠BDC=180°，
∴BD//AC（同旁内角互补，两直线平行），故D不符合题意。
答案：B

7. 如图,把一个直角三角尺的直角顶点放在一把直尺的一边上,若$ \angle 1 = 50^{\circ} $,则$ \angle 2 = $( )

A.$ 20^{\circ} $
B.$ 30^{\circ} $
C.$ 40^{\circ} $
D.$ 50^{\circ} $

答案： 【解析】：本题可根据直尺两边平行以及直角三角尺的性质，利用平行线的性质和角的运算来求解$\angle2$的度数。
步骤一：分析已知条件
已知$\angle1 = 50^{\circ}$，直角三角尺的直角为$90^{\circ}$，且直尺的两边是平行的。
步骤二：找出与$\angle1$和$\angle2$相关的角的关系
因为直角三角尺的直角为$90^{\circ}$，所以$\angle1$与$\angle2$的余角之和为$90^{\circ}$，而$\angle2$与它的余角之和为$90^{\circ}$，由此可推出$\angle1$与$\angle2$的余角相等，进而得出$\angle1$与$\angle2$互余（两角之和为$90^{\circ}$）。
步骤三：计算$\angle2$的度数
根据$\angle1$与$\angle2$互余，即$\angle1 + \angle2 = 90^{\circ}$，已知$\angle1 = 50^{\circ}$，则$\angle2 = 90^{\circ} - \angle1 = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$。
【答案】：C