《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

19. (6分)数学课上,陈老师出了这样一道题：已知$a= (\frac {1}{2})^{-1}$,$b= (-1)^{-3}$,求代数式$(a-3b)^{2}-a(2a-6b)+(a+1)(a-3)$的值,小明觉得直接代入计算太繁琐了,请你来帮他解决,并写出具体过程。

答案： 【解析】：
本题主要考察整式的乘除运算、代数式的化简以及指数运算。
首先，我们需要求出$a$和$b$的值，然后将代数式进行化简，最后代入$a$和$b$的值求解。
步骤一：求$a$和$b$的值。
根据指数的定义，我们有：
$a = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$
$b = (-1)^{-3} = -1$
步骤二：化简代数式。
原式可以写为：
$(a-3b)^{2} - a(2a-6b) + (a+1)(a-3)$
$= a^{2} - 6ab + 9b^{2} - 2a^{2} + 6ab + a^{2} - 2a - 3$
$= 9b^{2} - 2a - 3$
步骤三：代入$a$和$b$的值。
将$a = 2$和$b = -1$代入化简后的代数式，我们得到：
$9b^{2} - 2a - 3 = 9 × (-1)^{2} - 2 × 2 - 3 = 9 - 4 - 3 = 2$
【答案】：
2

20. (7分)如图,正方形ABCD的边长为$a$,点E在AB边上,四边形EFGB也是正方形,它的边长为$b(a＞b)$,连接CF,AC,若$a+b= 10$,$ab= 20$,求阴影部分的面积。

答案： 【解析】：
本题可先根据正方形面积公式和三角形面积公式分别表示出相关图形的面积，再通过面积之间的关系求出阴影部分的面积，最后将$a + b = 10$，$ab = 20$代入化简后的式子进行计算，涉及到整式的乘除运算。
正方形$ABCD$的面积为$a^2$（根据正方形面积公式$S = 边长×边长$）。
正方形$EFGB$的面积为$b^2$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}a^2$（因为$AB = BC = a$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$）。
$\triangle CEF$中，$EF = b$，$CG=a - b$，$GB = b$，则$CF$边上的高为$b$，底为$a - b + b = a$，所以$\triangle CEF$的面积为$\frac{1}{2}ab$。
$\triangle FGB$的面积为$\frac{1}{2}b^2$。
阴影部分面积$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形EFGB}-S_{\triangle ABC}-S_{\triangle CEF}-S_{\triangle FGB}$。
将上述面积代入可得：
$\;\;\;\;S_{阴影}$
$=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2$
$=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)$
根据完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，可得$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，将其代入上式可得：
$\;\;\;\;S_{阴影}$
$=\frac{1}{2}((a + b)^2 - 2ab - ab)$
$=\frac{1}{2}((a + b)^2 - 3ab)$
已知$a + b = 10$，$ab = 20$，将其代入上式可得：
$\;\;\;\;\frac{1}{2}×(10^2 - 3×20)$
$=\frac{1}{2}×(100 - 60)$
$=\frac{1}{2}×40$
$ = 20$
【答案】：
$20$

21. (8分)阅读下列解题过程,试比较$2^{100}与3^{75}$的大小。
解：因为$2^{100}= (2^{4})^{25}= 16^{25}$,$3^{75}= (3^{3})^{25}= 27^{25}$,而16＜27,所以$2^{100}＜3^{75}$。
请根据上述解答过程解答：
若$a= 2^{555}$,$b= 3^{444}$,$c= 4^{333}$,$d= 5^{222}$,试比较$a$,$b$,$c$,$d$的大小(写出过程)。

答案： 【解析】：
本题主要考察幂的乘方与积的乘方的运算及比较大小。
首先，我们需要将所有的数都转化为相同的指数形式，以便于比较大小。
对于 $a = 2^{555}$，我们可以将其转化为：
$a = 2^{555} = (2^{5})^{111} = 32^{111}$
对于 $b = 3^{444}$，我们可以将其转化为：
$b = 3^{444} = (3^{4})^{111} = 81^{111}$
对于 $c = 4^{333}$，我们可以将其转化为：
$c = 4^{333} = (4^{3})^{111} = 64^{111}$
对于 $d = 5^{222}$，我们可以将其转化为：
$d = 5^{222} = (5^{2})^{111} = 25^{111}$
由于所有的数现在都转化为了111次方，因此我们可以直接比较底数的大小来确定原数的大小。
【答案】：
解：
$a = 32^{111}$
$b = 81^{111}$
$c = 64^{111}$
$d = 25^{111}$
∵ $81 ＞ 64 ＞ 32 ＞ 25$，
∴ $b ＞ c ＞ a ＞ d$。