《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

21. (8分)如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 8 cm,BC= 6 cm,M为AC上一点且AM= BC,过A点作射线AN⊥CA,A为垂足,若一动点P从A点出发,沿AN运动,P点运动的速度为2 cm/s.
(1)经过几秒△ABC与△PMA全等?
(2)在(1)的条件下,AB与PM有何位置关系,并加以说明.

答案：
(1)设经过t s,△ABC与△PMA全等,所以AM=BC = 6cm,∠C=∠MAP=90°,所以只能是AP=AC=8cm,即2t = 8,所以t = 4,即经过4s,△ABC与△PMA全等.
(2)AB与PM的位置关系是AB⊥PM.理由:因为△ABC≌△PMA,所以∠BAC=∠APM.因为∠MAP=90°,所以∠CAB+∠BAP=90°,所以∠BAP+∠APM=90°,所以∠PDA=180°−90°=90°,所以AB⊥PM.

22. (8分)(1)如图①,已知:△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,直线m经过点A,BD⊥m于点D,CE⊥m于点E,猜想:DE______BD+CE.
(2)拓展:如图②,将(1)中的条件改为:△ABC中,AB= AC,D,A,E三点都在直线m上,并且∠BDA= ∠AEC= ∠BAC= α,α为任意锐角或钝角,请问第(1)问猜想是否成立? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(3)应用:如图③,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB= AC,∠BAD＞∠CAE,∠BDA= ∠AEC= ∠BAC,直线m与BC的延长线交于点F,若BC= 2CF,△ABC的面积是16,求△ABD与△CEF的面积之和.

答案：
(1)= 解析:因为BD⊥m,CE⊥m,∠BAC=90°,所以∠ADB=∠CEA=90°,所以∠BAD+∠ABD=90°=∠BAD+∠CAE,所以∠ABD=∠CAE.又因为∠ADB=90°=∠CEA,AB=AC,所以△ADB≌△CEA(AAS),所以AD=CE,BD=AE,所以DE=AD+AE=BD+CE,所以DE=BD+CE.
(2)结论仍然成立,证明如下:因为∠BDA=∠BAC=α,所以∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α,即∠CAE=∠ABD.因为∠ABD=∠CAE,∠BDA=∠CEA,AB=AC,所以△ABD≌△CAE(AAS),所以AE = BD,AD=CE,所以DE=AE+AD=BD+CE,所以DE=BD+CE.
(3)因为∠BAD＞∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,同
(2)可知,△ABD≌△CAE,所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle CEA}$.设△ABC的底边BC上的高为h,则△ACF的底边CF上的高为h,所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot h = 16$,$S_{\triangle ACF}=\frac{1}{2}CF\cdot h$.因为BC = 2CF,所以$S_{\triangle CAF}=8$,所以$S_{\triangle ABD}+S_{\triangle CEF}=S_{\triangle CEA}+S_{\triangle CEF}=S_{\triangle ACF}=8$,即△ABD与△CEF的面积之和为8.