《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七年级数学北师大版》

21. (8分)如图①所示,是一根木尺折断后的情形,你可能注意过,木尺折断后的断口一般是参差不齐的,那么我们可以深入考虑一下其中所包含的一类数学问题,不妨取名叫“木尺断口问题”.
(1)如图②所示,已知$ AB // CD $,请问$ \angle B $,$ \angle D $,$ \angle BED $有何关系？并说明理由.
(2)如图③所示,已知$ AB // CD $,请问$ \angle B $,$ \angle BED $,$ \angle D $又有何关系？并说明理由.

答案： 【解析】：本题主要考查平行线的性质以及三角形外角性质的运用。
（1）对于图②，可以通过作辅助线，利用平行线的性质和三角形外角的性质来求解$\angle B$，$\angle D$，$\angle BED$的关系。
过点$E$作$EF// AB$，因为$AB// CD$，所以$EF// CD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle B = \angle BEF$，$\angle D = \angle DEF$，而$\angle BED = \angle BEF + \angle DEF$，所以$\angle BED = \angle B + \angle D$。
（2）对于图③，同样通过作辅助线，利用平行线的性质和三角形外角的性质来求解$\angle B$，$\angle D$，$\angle BED$的关系。
过点$E$作$EF// AB$，因为$AB// CD$，所以$EF// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle B + \angle BEF = 180^{\circ}$，$\angle D + \angle DEF = 180^{\circ}$，而$\angle BED = \angle BEF + \angle DEF$，所以$\angle B + \angle BED + \angle D = 360^{\circ}$。
【答案】：（1）$\angle BED = \angle B + \angle D$。
理由：过点$E$作$EF// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore EF// CD$，
$\therefore\angle B = \angle BEF$，$\angle D = \angle DEF$，
又$\because\angle BED = \angle BEF + \angle DEF$，
$\therefore\angle BED = \angle B + \angle D$。
（2）$\angle B + \angle BED + \angle D = 360^{\circ}$。
理由：过点$E$作$EF// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore EF// CD$，
$\therefore\angle B + \angle BEF = 180^{\circ}$，$\angle D + \angle DEF = 180^{\circ}$，
又$\because\angle BED = \angle BEF + \angle DEF$，
$\therefore\angle B + \angle BED + \angle D = 360^{\circ}$。

22. (8分)为保证安全,铁路两侧安装了A,B两盏探照灯如图,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的,即$ PQ // MN $,且$ \angle BAM : \angle BAN = 2 : 1 $.

(1)求$ \angle ABQ $.
(2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线第一次到达BQ之前,灯A转动几秒,两灯的光束互相平行？

答案：
(1)解：
∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM:∠BAN=2:1
∴∠BAM=120°，∠BAN=60°
∵PQ//MN
∴∠ABQ=∠BAN=60°
(2)解：设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行
灯B先转动30秒，转动角度为30×1°=30°，此时灯B射线位置为BP绕B顺时针转30°
灯A转动t秒，角度为2t°，灯B共转动(t+30)秒，角度为(t+30)°
情况1：2t = t+30
解得t=30
情况2：2t + (t+30) = 180
解得t=50
∵灯B第一次到达BQ需60秒，t+30≤60，t≤30（此处修正：应为t+30＜180，灯B转动范围为0°到180°，t=50时t+30=80＜180，均符合）
∴t=30或50
答：
(1)∠ABQ=60°；
(2)灯A转动30秒或50秒时，两灯的光束互相平行。