《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 在半径为1cm的圆中,圆心角为120°的扇形的弧长是$\frac{2}{3}\pi$cm.

答案： $\frac{2}{3}\pi$ 解析: 扇形的弧长 $=\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2}{3}\pi cm$.

2. 一个扇形的圆心角为60°,半径为2,则这个扇形的面积为______$\frac{2}{3}\pi$.(结果保留π)

答案： $\frac{2}{3}\pi$

3. 圆锥的高为3,底面直径为8,这个圆锥的侧面积为20π.

答案： $20\pi$

4. 如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且CO=CD,则∠ACP=67.5°.

答案： $67.5^{\circ}$

5. (2024·深圳中考)如图,在△ABC中,AB=BD,⊙O为△ABC的外接圆,BE为⊙O的切线,AC为⊙O的直径,连接DC并延长交BE于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
(2)若AB=5√6,BE=5,求⊙O的半径.

答案：

(1) 证明: 如图, 连接 $BO$ 并延长交 $AD$ 于点 $H$, 连接 $OD$.
　　　　
$\because AB=BD,OA=OD$,
$\therefore BO$ 垂直平分 $AD$,
$\therefore \angle BHD=90^{\circ}$,
$\because BE$ 为 $\odot O$ 的切线,
$\therefore \angle OBE=90^{\circ}$,
$\because AC$ 为 $\odot O$ 的直径,
$\therefore \angle HDE=90^{\circ}$,
$\therefore$ 四边形 $BEDH$ 为矩形,
$\therefore \angle E=90^{\circ}$,
$\therefore DE\perp BE$;
(2) 解: $\because$ 由
(1) 可得 $BO$ 垂直平分 $AD$, 四边形 $BEDH$ 为矩形,
$\therefore AH=DH=\frac{1}{2}AD,DH=BE=5,\angle BHD=90^{\circ}$,
$\therefore BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=5\sqrt{5}$,
$\therefore$ 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $OD=r,OH=BH-OB=5\sqrt{5}-r$.
$\because OH^{2}+DH^{2}=OD^{2}$,
$\therefore (5\sqrt{5}-r)^{2}+5^{2}=r^{2}$,
解得 $r=3\sqrt{5}$,
$\therefore \odot O$ 的半径为 $3\sqrt{5}$.

6. 如图,在⊙O中,直径AB=2,CA切⊙O于点A,BC交⊙O于点D,若∠C=45°,则
(1)BD的长是$\sqrt{2}$;
(2)求阴影部分的面积.

答案： 解:
(1) $\sqrt{2}$
(2) 由
(1) 得, $AD=BD$.
$\therefore$ 弓形 $BD$ 的面积等于弓形 $AD$ 的面积, 故阴影部分的面积等于 $\triangle ACD$ 的面积.
$\because CD=AD=BD=\sqrt{2}$,
$\therefore S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}CD\cdot AD=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$, 即阴影部分的面积是 1.