《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

答案： 外端并且垂直

1. 如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是 （D）

A. $ OA^{2}+PA^{2}=OP^{2} $
B. $ PA\perp OA $
C. $ \angle P = 30^{\circ} $，$ \angle O = 60^{\circ} $
D. $ OP = 2OA $

答案： 1.D

2. 如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，$ \angle ADE = 60^{\circ} $，$ \angle C = 30^{\circ} $. 求证：CD是⊙O的切线.

答案：
2.证明:如图，连接OD
　　　　　
∵∠ADE = 60°, ∠C = 30°,
∴∠A = 30°.
　又
∵OD = OA,
∴∠ODA = ∠A = 30°
∴∠EDO = 90°,即OD⊥CD.
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.

3.（2025·广西一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，BD平分$ \angle ABC $，点P在AC延长线上，$ \angle PBC = \angle BDC $.
（1）求$ \angle CAD $的度数；
（2）若$ AD = 2 $，求⊙O半径的长；
（3）求证：PB是⊙O的切线.

答案：
3.解:
(1)
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD = ∠ABD,
∵∠CAD = ∠CBD, ∠ABD = ∠ACD,
∴∠CAD = ∠ACD,
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC = 90°,
∴∠CAD = ∠ACD = 45°;
(2)
∵∠ADC = 90°, ∠CAD = ∠ACD = 45°,
∴DA = DC = 2,
∴AC = √(DA² + DC²) = 2√2,
∴⊙O半径的长为√2;
(3)证明:如图，连接OB.
　　　　　
∵OA = OB,
∴∠BAO = ∠ABO,
∵∠PBC = ∠BDC, ∠BDC = ∠BAO,
∴∠PBC = ∠ABO,
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 90°,
∴∠PBC + ∠OBC = 90°,
∴∠OBP = 90°,
∵OB为半径，
∴PB是⊙O的切线