《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的对称轴是直线$ x = -\frac{b}{2a} $，顶点坐标是$ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a} \right) $.

答案： $ x = -\frac{b}{2a} $ $ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a} \right) $

2. 若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同,则它们的二次项系数 $ a $必相等.

答案： 二次项系数 $ a $

1. 抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}-4x + 2$的顶点的横坐标是 (D)
A. -12
B. 12
C. -6
D. 6

答案： D

2. 抛物线$y = x^{2}-px + 2$的对称轴是直线$x = 3$,则$p =$6.

答案： 6

3. 二次函数$y = 2x^{2}-8x + 1$有 (B)
A. 最大值-7
B. 最小值-7
C. 最小值-9
D. 最大值-9

答案： B

4. 利用公式法求下列抛物线的对称轴和顶点坐标:
(1)$y = x^{2}+3x + 2$; 对称轴为直线$x = -\frac{3}{2}$，顶点坐标为$\left( -\frac{3}{2}, -\frac{1}{4} \right)$
(2)$y = -2x^{2}+8x - 7$; 对称轴为直线$x = 2$，顶点坐标为$(2, 1)$
(3)$y=\frac{5}{2}x^{2}-4x + 1$; 对称轴为直线$x = \frac{4}{5}$，顶点坐标为$\left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right)$
(4)$y = 3x^{2}-6x$; 对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1, -3)$

答案：
(1) 解: $ \because a = 1, b = 3, c = 2 $,
$ \therefore -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 × 1} = -\frac{3}{2} $,
$ \frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 × 1 × 2 - 3^{2}}{4 × 1} = -\frac{1}{4} $,
$ \therefore $ 该抛物线的对称轴为直线 $ x = -\frac{3}{2} $,
顶点坐标为 $ \left( -\frac{3}{2}, -\frac{1}{4} \right) $;
(2) 解: $ \because a = -2, b = 8, c = -7 $,
$ \therefore -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 × (-2)} = 2 $,
$ \frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 × (-2) × (-7) - 8^{2}}{4 × (-2)} = 1 $,
$ \therefore $ 该抛物线的对称轴为直线 $ x = 2 $, 顶点坐标为 $ (2, 1) $;
(3) 解: $ \because a = \frac{5}{2}, b = -4, c = 1 $,
$ \therefore -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 × \frac{5}{2}} = \frac{4}{5} $,
$ \frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 × \frac{5}{2} × 1 - (-4)^{2}}{4 × \frac{5}{2}} = -\frac{3}{5} $,
$ \therefore $ 该抛物线的对称轴为直线 $ x = \frac{4}{5} $, 顶点坐标为 $ \left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right) $;
(4) 解: $ \because a = 3, b = -6, c = 0 $,
$ \therefore -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 × 3} = 1 $,
$ \frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{-36}{4 × 3} = -3 $,
$ \therefore $ 该抛物线的对称轴为直线 $ x = 1 $, 顶点坐标为 $ (1, -3) $.