《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 为落实五育并举, 某学校为九年级6个班设立了一块劳动教育实践基地, 旨在通过实践活动促进学生全面发展. 如图, 该基地是一块长18m, 宽12m的矩形空地, 为区分各班的区域,要修三条宽度相同的小路, 且每条小路的两边都平行, 各班基地的使用总面积为176m². 若设小路的宽度为x m, 则根据题意可列方程为 (B)

A. (18 - x)(12 - 2x) = 176
B. (18 - 2x)(12 - x) = 176
C. 2x(12 - x) = 176
D. x(18 - 2x) = 176

答案： 1. B

2. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园(如图所示), 其中一边靠墙(墙长为18m), 另外三边用32m的篱笆围成.
(1)若苗圃园的面积为96m², 垂直于墙面的一边长为12米?
(2)苗圃园的面积能否达到150m²? 请说明理由.
不能。理由如下：假设苗圃园的面积为150m²，设垂直于墙面的一边长为x m，则平行于墙面的一边长为(32-2x)m，依题意得(32-2x)x=150，整理得x²-16x+75=0，∵Δ=(-16)²-4×1×75=-44＜0，∴方程无实数根，故苗圃园的面积不能达到150m²。

答案： 2. 解:
(1) 设垂直于墙面的一边长为 $ x $ m, 则平行于墙面的一边长为 $ (32 - 2x) $ m.
依题意, 得 $ (32 - 2x)x = 96 $,
整理, 得 $ x^{2} - 16x + 48 = 0 $,
解得 $ x_{1} = 4 $, $ x_{2} = 12 $,
当 $ x = 4 $ 时, $ 32 - 2x = 32 - 8 = 24 ＞ 18 $, 不合题意, 舍去;
当 $ x = 12 $ 时, $ 32 - 2x = 32 - 24 = 8 ＜ 18 $.
答: 若苗圃园的面积为 $ 96 \, m^{2} $, 垂直于墙面的一边长为 $ 12 $ m.
(2) 不能. 理由如下: 假设苗圃园的面积为 $ 150 \, m^{2} $, 由
(1) 知 $ (32 - 2x)x = 150 $,
整理, 得 $ x^{2} - 16x + 75 = 0 $,
$ \because \Delta = b^{2} - 4ac = (-16)^{2} - 4 × 75 = -44 ＜ 0 $,
$ \therefore $ 方程无实数根.
$ \therefore $ 苗圃园的面积不能达到 $ 150 \, m^{2} $.

3. 如图, 在△ABC中, ∠B = 90°, 点P从点B开始, 沿AB边向点A以1cm/s的速度移动, 点Q从点B开始, 沿BC边向点C以2cm/s的速度移动. 如果AB = 6cm, BC = 12cm, 点P, Q都从点B同时出发, 几秒后△PBQ的面积等于8cm²?

解: 设 x秒后 △PBQ 的面积等于 8 cm², 这时 PB = x, BQ = 2x.
依题意, 得 $\frac{1}{2}x \cdot 2x = 8$,
解得 $x = \pm 2\sqrt{2}$, 即 $x_{1} = 2\sqrt{2}$, $x_{2} = -2\sqrt{2}$ (不合题意, 舍去),
∴ $x = 2\sqrt{2}$.
答: $2\sqrt{2}$秒后 △PBQ 的面积等于 8 cm².

答案： 3. 解: 设 $ x $ 秒后 $ \triangle PBQ $ 的面积等于 $ 8 \, cm^{2} $, 这时 $ PB = x $, $ BQ = 2x $.
依题意, 得 $ \frac{1}{2}x \cdot 2x = 8 $,
解得 $ x = \pm 2\sqrt{2} $, 即 $ x_{1} = 2\sqrt{2} $, $ x_{2} = -2\sqrt{2} $ (不合题意, 舍去),
$ \therefore x = 2\sqrt{2} $.
答: $ 2\sqrt{2} $ 秒后 $ \triangle PBQ $ 的面积等于 $ 8 \, cm^{2} $.